Application propre (perfect map)

Dans ce livre, il défini une application propre comme ceci

Il précise ensuite que dans la littérature anglophone, on les appelle "perfect map". J'ai cru comprendre qu'en français, les applications propres avaient une dénomination différente, mais je me suis basé sur celle de El Hage.

Plus loin dans l'ouvrage, il montre le théorème suivant :

Cependant, je pense que dans sa démonstration il y a une erreur, je vous mets la démonstration et j'ai surligné le passage problématique

En effet, f n'étant pas injective a priori, je ne pense pas que l'on puisse affirmer que f(Ui) = Y\f(Fi).
Dans le doute, j'ai cherché dans un autre livre, le Topology de Munkres, et il propose en fait cela sous forme d'exercice, sans correction mais avec une indication :

En partant de l'indication, j'arrive à montrer le résultat. Mon problème est que je n'arrive pas à montrer que l'indication est vraie.
Merci d'avance.