Intégrale de Lebesgue

Gon · July 2022

Bonsoir hier en relisant mon cours d'intégration, je me suis demandé s'il était possible de calculer l'intégrale de ce genre de choses (je ne peux pas appeler cela fonction car ce n'est pas une fonction). Mais je me disais qu'on pouvait arriver à contourner d'une certaine façon la "difficulté".
Je ne sais pas s'il existe des topics concernant mon problème que j'évoque (peut-être que je l'évoque mal).
NB. Vous pouvez ignorer l'axe des abscisses, c'est juste pour avoir une certaine représentation.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/uc/5lddbcw9bfg7.jpg

Gon · July 2022

Je suppose que mes ensembles $A_{i}$ sont mesurables, peut-on transformer cette représentation en utilisant une fonction à deux variables pour calculer l'intégrale?

GaBuZoMeu · July 2022

Bonjour

Une fonction d'une variable : $\sum_{i=1}^n \alpha_i\mathbf 1_{A_i}$.

Gon · July 2022

Bonsoir
c’est justement le problème GaBu.

Ce n’est pas vraiment une « fonction » ici car on peut avoir $f(x)$ différents pour le $x$ non ? Enfin si on considère mon dessin . Est-ce que ce que tu dis correspond plutôt à la somme de deux fonctions ?

[Utilisateur supprimé] · July 2022

Tu veux quelque chose qui mesure l'aire sous la courbe qui est « le plus haut » donc pourquoi ne pas considérer tout simplement $\int t(x)dx$ où $t(x)=\max(f(x), g($ ... ? Ensuite voir jusqu'où cette définition mène et peut-être où il faut l'adapter un peu.

Ou si tu veux un peu plus « général », soit l'opérateur $T$ qui prend un couple de fonctions ${f, g}$ et le transforme en une fonction $t$ tel que $t(x)=\max(f(x), g($ ...

GaBuZoMeu · July 2022

Ce n'est pas la somme des aires des rectangles que tu vises ?
Alors c'est quoi ?

Gon · July 2022

Au fait dans un premier temps , je regardais la propriété qui dit que toute fonction étagée peut s’écrire comme somme de combinaisons linéaires de fonctions indicatrices où les $\alpha_{i}$ sont 2 à 2 distincts et les $A_{i}$ forment une partition de l’ensemble $E$ par exemple . C’est à la suite de cette lecture que j’ai pensé à mon dessin . Mais bon déjà ce n’est pas une fonction au sens mathématique du terme.

Gon · July 2022

Bonjour
La nuit portant conseils, je pense qu’effectivement vos réponses sont correctes. Je rendais la chose plus complexe pour si peu.

Intégrale de Lebesgue

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