Problème de Cauchy
Salut,
$X$ espace de Hilbert.
Soit $\mathcal{A}:D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ et $f:[0,T]\rightarrow X$
$X$ espace de Hilbert.
Soit $\mathcal{A}:D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ et $f:[0,T]\rightarrow X$
Quelle est la différence entre
$$\begin{cases}U_{t}(t)=\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\U(0)=U_{0}\end{cases} \qquad\text{et}\qquad \begin{cases}U_{t}(t) \in \mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\U(0)=U_{0}\end{cases}$$ où, $U_t$ est la dérivée de $U$ par rapport à $t$.
Réponses
-
Bonjour.Tout dépend de qui est $\mathcal{A}$. Et tu ne l'as pas dit ...Cordialement.NB : Je ne comprends pas non plus qui est $A$. Est-ce le nom d'une inclusion ?
-
En fait, j'ai oublié d'écrire la commande \mathcal avant le A. j'ai rectifié l'énoncée.
-
Il reste encore des problèmes (par exemple, c'est sans doute $D(\mathcal A)$), mais en tout cas, je ne comprends pas d'où pourrait sortir le symbole d'appartenance si l'inconnue $U$ est bien une application de $[0,T]$ dans $X$.Cordialement.
-
Bonjour dans le deuxième cas c'est peut être lorsque $\mathcal{A}$ est une fonction multivalué et du coup $ \mathcal{A} : D(\mathcal{A}) \mapsto \mathcal{P}(X)$ où $\mathcal{P}(X)$ est l'ensemble des parties de $X$ comme exemple de fonction multivalué tu as le sous-différentiel d'une fonction convexe, l'image réciproque d'une fonction quelconque.
-
$\mathcal{A}$ est un opérateur multivalué dans le cas d'inclusion et dans l'égalité $\mathcal{A}:D(\mathcal{A})\subset X\rightarrow X$.
-
Tu veux dire dans le cas d'appartenance ? Dans tout les cas si c'est un opérateur multivalué tu dois le préciser dans la question au début.Et si $\mathcal A$ est un opérateur multivalué tu ne peux pas le manipuler avec des signes d'égalités à part si à un moment donné tu prouves qu'il est monovalué au moins à certains endroits.
-
Ok. Merci beaucoup.
-
Salut,
Soit $X$ un espace de Hilbert et $A: X \rightarrow 2^{X}$ opérateur non linéaire multivalué.
$2^{X}$ l'ensemble de parties de l'ensemble $X$.Le problème de Cauchy dans ce cas est donné par :$U_t(t)+AU(t)\ni f(t), \ t \in [0,T]$$U(0)=U_0$$A$ est $\omega$-$m$ accretive c'est-à-dire :$\langle (A+\omega I) U,U\rangle \geq 0 $ et $R(I+\lambda A)=X $ pour certain $\lambda >0$, $\omega \in \mathbb{R}^+$.Si $A$ is $\omega$-$m$ accretive, $u_0 \in D(A)$ et $ f \in L^{1}(0,T;X)$ alors le problème de Cauchy a une solution unique $ u\in C([0,T];X)$ (Livre " Nonlinear differential equations of monotone types in Banach spaces").Si $A:D(A)\subset X\rightarrow X$ un opérateur non linéaire monovalué. Est-ce que l'on peut appliquer le résultat précédent avec :$U_t(t)+AU(t)=f(t) \;t \in [0,T] $$U(0)=U_0$[Restons dans le discussion que tu as ouverte sur ton problème. AD] -
vw a dit :$U_t(t)+AU(t)\in f(t), \ t \in [0,T]$Quel est la définition de $R$ ?
-
Oui..c'est vrai. je l'ai rectifié.
$R (I+\lambda A)$ est l'image de $I+\lambda A$.
-
Je ne suis pas sûr mais je pense que oui en disant qu'un opérateur monovalué c'est un cas particulier d'un opérateur multivalué.
-
Salut,
On suppose que
$X$ un espace de Hilbert.
$A: X\rightarrow 2^{X}$
$2^{X}$ est l'ensemble de parties de $X$.
$I$ l'opérateur d'identité
$\lambda >0$
$Au=\{Au\}$si $u\in D(A)$
$Au=\emptyset$ sinon
On veut montrer que $R(\lambda I-A)=X$
$R(\lambda I-A)$ est l'image de $\lambda I-A$
pour cela on cherche $\forall h\in X ,u\in X$ tel que $\lambda u-Au=h$
je veux tout d'abord chercher $u\in D(A)$ tel que $\lambda u-Au=h $. Mais le problème dans le cas où $u$ n'appartient pas à $D(A)$. comment je dois écrire ça " $\forall h\in X$ chercher $u\in D(A)^{c}$ tel que $\lambda u-?=h $"? quel est l'élément que je dois écrire?
$u\in D(A)^{c}$: u appartient a $X$ et n'appartient pas à $D(A)$.
-
Bonjour,
Il manque des hypothèses avec ce que tu as dit on ne peut pas conclure.
Et pour ta définition de surjectif il faut mettre les quantificateurs dans le bon sens sinon ça ne marche pas.
c'est : $\forall h \in X$ on cherche $u$... -
Dans quelque ouvrages , on trouve cette expression
Soit $A:D(A)\subset X \rightarrow X$ un opérateur multivoque je ne comprends pas comment l’opérateur $A$ est multivoque et en même temps l'espace d'arrivé est $X$. Avez-vous une idée sur ça ? -
Bonjour.le fait de dire multivoque évite de dire que l'espace d'arrivée est $\mathcal P(X)$. Une application multivoque de $X$ dans $X$ est une application de $X$ dans $\mathcal P(X)$.Cordialement.
-
Cherche le livre de Benilan, Crandall and Pazy .
edit Ph. Bénilan - M.G. Crandall - A. Pazy, Evolution Equations governed by accretive operators
Tu y trouvera ton bonheurLe 😄 Farceur -
Salut
Soit $X$ un espace de Hilbert.Soit $\mathcal{A}: D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ non linéaire et $f:[0,+\infty)\rightarrow X$$$\begin{cases}U_{t}(t)=\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\ U(0)=U_{0}\end{cases} $$Je cherche des références de théorèmes d'existence et d'unicité d'une solution $U$ in $[0,+\infty)$.
J'ai trouvé quelque théorèmes mais dans le cas où $U$ est défini sur $[0,T]$ et non pas sur $[0,+\infty)$ et pour le cas d'inclusion :$\mathcal{A}: D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ nonlinéaire multivalué et $f:[0,T]\rightarrow X$ $$\begin{cases}U_{t}(t)\in\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t\in[0,T], \\U(0)=U_{0}\end{cases} $$ -
BonjourDans un problème de Cauchy, l'on s'attend à voir des dérivées ; c'est quand même le minimum. Même si les notations sont anglo-saxonnes, tu peux faire un effort de rédaction. Par exemple, est-ce que $U_{t}(t)\in\mathcal{A} U(t)+f(t)$ a du sens ?Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
-
C'est aussi confus que le premier message du genre :[Discussions fusionnées. AD]
-
@Thierry Poma..oui il a du sens si l'opérateur $\mathcal{A}$ est un opérateur multivalué.
@JLapin..confusion?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres