Application bilinéaire

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Modifié (June 2022) dans Algèbre
Soit $\phi$ une application bilinéaire de $V$ dans $W$. Je suppose pour simplifier que $V$ est de dimension  3.
Il est clair que $\phi$ ne peut pas être injective, car par exemple $\phi(u,v)=\phi(0.1u, 10v)$
Mais supposons que à part ce genre de cas elle est injective donc $\phi(a,b)=\phi(c,d)$ implique $c=ka$ et $d=1/kb$    [$d=\frac1kb$ ?]
Je veux montrer que ceci est impossible : il existe des vecteurs $u,v,w$ tels que $\phi(e_1,u)=\phi(e_2,v)+\phi(e_3,w)$ avec les $e_i$ une base de $V$
C'est très intuitif mais je n'y arrive pas, je veux m'en servir pour montrer que les $\phi(e_i,e_j)$ forment une base de $Im\phi$.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Modifié (June 2022)
    Bonjour.
    Comme on ne sait rien de $W$, il est évident que c'est faux, prends un produit scalaire.
    Et pour ton but (dernière phrase), sans condition sur $\phi$, tu n'y arriveras pas, l'application nulle est bilinéaire.
    Cordialement.
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    Merci pour votre réponse mais j'ai déjà une condition sur phi: phi(a,b)=phi(c,d) implique c=ka et d=1/kb ce qui exclut l'application nulle.
    Si on suppose que $W$ a une plus grande dimension que $V$ alors est-ce démontrable ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Modifié (June 2022)
    Bonjour
    Déjà $\phi$ ne va pas de $V$ dans $W$, mais de $V\times V$ dans $W$.
    Ensuite, faut faire gaffe avec les vecteurs nuls : on a toujours $\phi(0,v)=\phi(u,0)=0$, quels que soient $u$ et $v$.
    Enfin, tu as une application bilinéaire universelle $V\times V\to V\otimes V$, où $V\otimes V$ a pour base  $(e_i\otimes e_j)_{1\leq i,j\leq 3}$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Modifié (June 2022)
    Je t'invite à reformuler ta condition sous la forme suivante.
    Pour tous $a,b,c,d$ dans $V$, si $\phi(a,b)=\phi(c,d)\neq 0$, alors il existe un scalaire $k\neq 0$ tel que $c=ka$ et $d=k^{-1}b$.
    Tu peux tester ça sur l'application bilinéaire universelle.
  • Link
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    Modifié (June 2022)
    Merci pour votre réponse, vous parlez sans doute de cette application universelle https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_tensoriel#Produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels
    Mais est-ce que je peux m'en servir pour montrer mon but originel que ceci est impossible : il existe des vecteurs u,v,w tels que ϕ(e1,u)=ϕ(e2,v)+ϕ(e3,w) avec les ei une base de $V$ ? Mon application $\phi$ est quelconque.
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    Finalement je pense que ce que je voulais montrer est faux, car j'ai construit un contre-exemple, même si ca me semblait "naturel".
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $\phi$ est quelconque ou vérifie la propriété que j'ai reformulée ?
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    $\phi$ vérifie la propriété ("quasi" injective) mais on a $\phi(e_1,e_1)=\phi(e_2,e_2)+\phi(e_3,e_3)$.
    Il suffit de choisir des valeurs quelconcques pour $\phi(e_i,e_j)$ si $(i,j)\neq (1,1)$ de sorte que la famille ainsi formée soit libre dans $W$, et définir $\phi(e_1,e_1)=\phi(e_2,e_2)+\phi(e_3,e_3)$. Sauf erreur, une telle application vérifié la propriétée reformulée(pas évident), pourtant on a $\phi(e_1,e_1)=\phi(e_2,e_2)+\phi(e_3,e_3)$ et donc les $\phi(e_i,e_j)$ ne forment pas une base car liées.
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