Construction des foyers d'une conique

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Réponses

  • gai requin
    gai requin
    Modifié (June 2022)
    Les foyers sont les points fixes de l’homographie $f:AB\infty\mapsto \infty bC$ d'après le théorème de Siebeck appliqué au triangle harpon $BAC$.
    Soit alors $O'=f(O)$.
    La similitude directe $AO\mapsto Cb$ envoie $B$ sur $O'$.
    D'où une construction de $O'$ que je ne montre pas pour ne pas surcharger la figure.
    On a vu dans un fil récent que l'inversion algébrique de pôle $O$ qui échange $C$ et $O'$ a les mêmes points fixes que $f$.
    D'où une construction des foyers par la méthode des deux bissectrices.

  • pappus
    pappus
    Modifié (June 2022)
    Merci Gai Requin
    Tout ceci est est exact mais mets toi à la place de ton lecteur $\lambda$ qui, en dehors des axiomes de Thalès et de Pythagore, n'est guère motivé par la géométrie circulaire.
    A chaque fois il faut tout recommencer et lui expliquer en détail, en long, en large et en travers tout de que tu fais sinon il va aller voir ailleurs!
    Tout d'abord ton triangle harpon n'est pas le triangle $BAC$ mais le triangle $Bab$.
    La tangente en $M$ à l'ellipse inscrite $\Gamma$ coupe la tangente $AB$ au point $P$ et la tangente $BC$ au point $P'$ et c'est la correspondance $P\mapsto P'$ qui nous intéresse.
    Le théorème de Siebeck (~1850) affirme qu'il existe une unique transformation circulaire directe $f$ telle que $f(P) =P'$ pour tout point $P\in AB$ et dont les points fixes $F$ et $F'$ sont les foyers de la conique inscrite $\Gamma$.
    A priori, il ne donne aucune construction de ces points fixes et tu as donc bien fait de t'y intéresser.
    En faisant $M=c$, on voit que $f(\infty)=C$ et de même pour $M=d$: $f(A)=\infty$, $M=a$: $f(a)=B$, $M=b$: $f(B)=b$
    En résumé:
    $$f:(\infty,A,a,B)\mapsto (C,\infty,B,b)$$
    Le point limite objet de $f$ est donc $A$, son point limite image $C$ et on a deux paires de points homologues $(a,B)$ et $(B,b)$.
    Tu proposes donc la construction des points fixes d'une transformation circulaire directe connaissant les deux points limites et une paire de points homologues. Tu as choisi la paire $(B,b)$ au lieu de la paire $(a,B)$, c'est ton droit le plus strict.
    Commençons par ta construction de $O'=f(O)$ au moyen d'une similitude directe.
    Elle est exacte mais ton lecteur $\lambda$ réclame quelques explications même si elles ont été déjà données ailleurs dans un fil récent!
    Amicalement
    pappus.
    PS. V'la encore autre chose !
    La figure refuse de s'insérer directement !
    Au secours AD !
    [Voilà.  :) AD]
    Edit: Merci AD mais comment t'as fait et pourquoi ça n'arrive qu'à moi!?

  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir à tous,
    Oui, Pappus, j'ai compris pourquoi ma réponse https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2366068/#Comment_2366068 était insuffisante :
    Le point $a$ étant donné sur le côté $AB$ du parallélogramme $ABCD$, le point $b$ sera le point d'intersection du côté $BC$ et de la parallèle à la diagonale $AC$ passant par $a$, autrement dit le projeté de $a$ sur $BC$ parallèlement à cette diagonale $AC$, le point $c$ sera le symétrique de $a$ par rapport au point d'intersection des diagonales de $ABCD$, et le point $d$ sera le projeté de $a$ sur $AD$ parallèlement à la diagonale $BD$.
    On peut aussi, au lieu de tout ramener au point $a$, construire $b$ à partir de $a$ en projetant celui-ci comme indiqué ci-dessus, puis construire $c$ en projetant $b$ sur $CD$ parallèlement à $BD$, et $d$ en projetant $c$ sur $DA$ parallèlement à $CA$. 
    Mais maintenant, pour la construction des foyers, il va falloir que je reprenne ce fil assez haut ...
    Bien amicalement, JLB
  • pappus
    pappus
    Modifié (June 2022)
    Bravo Jelobreuil
    C'est exact!
    Sais-tu que tu es devant une configuration très connue de la théorie des coniques affines, elle même cas particulier d'une configuration plus générale de la théorie des coniques projectives.
    C'était un peu un pont aux ânes pour nos aïeux étudiants!
    Aujourd'hui c'est une autre histoire quand la seule conique encore connue est le divin cercle trigonométrique!
    Amicalement
    pappus
    PS
    Pour ton édification personnelle, regarde ce que devient cette configuration dans le cas du cercle.
    Puis sers toi du fait qu'une ellipse  est la projection d'un cercle
    Et fais moi une figure pour que je comprenne que tu as compris!
  • gai requin
    gai requin
    Modifié (June 2022)
    Tout ceci se démontre par polarité, y compris ma construction des diamètres conjugués.
    En fait, on passe notre temps à faire de la géométrie projective, soit dans le plan réel, soit sur la droite complexe.
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