Un point peu connu de Léon Ripert

% Jean-Louis Ayme - 22 Juin 2022 - Un point peu connu de Léon Ripert

% 1. ABC      un triangle
% 2. M        une ménélienne de ABC
% 3. I,  J, K les points d'intersection de M resp. (BC), (CA), (AB)
% 4. Ra       le point d'intersection des médiatrices de [BC] et [JK].
% Question :  Ra est sur le cercle de Miquel du delta (ABC, M) i.e. sur 4.

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clc, clear all, close all

syms a b c

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

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% La ménélienne a pour équation uB z + u zB + r = 0
% avec |u|=1 et r réel

syms u
syms r real
uB=1/u;

[I IB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-b-c,uB,u,r); % On préserve i
I=Factor(I); IB=Factor(IB);

% On trouve:

I = u*((b+c)*u+b*c*r)/(u^2-b*c); IB=-(b+c+r*u)/(u^2-b*c);

% De même:

j = u*((c+a)*u+c*a*r)/(u^2-c*a); jB=-(c+a+r*u)/(u^2-c*a);
k = u*((a+b)*u+a*b*r)/(u^2-a*b); kB=-(a+b+r*u)/(u^2-a*b);

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[oa oaB Ra2]=CercleTroisPoints(a,j,k,aB,jB,kB);
[ob obB Rb2]=CercleTroisPoints(b,k,I,bB,kB,IB);
[oc ocB Rc2]=CercleTroisPoints(c,I,j,cB,IB,jB);

oa=Factor(oa); oaB=Factor(oaB); Ra2=Factor(Ra2);
ob=Factor(ob); obB=Factor(obB); Rb2=Factor(Rb2);
oc=Factor(oc); ocB=Factor(ocB); Rc2=Factor(Rc2);

% On trouve (et permutation circulaire):

oa=a*u*(u^3-s2*u-s3*r)/((u^2-a*b)*(u^2-a*c));
oaB=(-r*u^3-s1*u^2+s3)/((u^2-a*b)*(u^2-a*c));
Ra2=b*c*u^2*(u^2+r*a*u+a^2)^2/((u^2-a*b)*(u^2-a*c))^2;

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[pjk qjk rjk]=Mediatrice(j,k,jB,kB); % Médiatrice de [JK]
% La médiatrice de [BC] a pour équation z - b*c*zB = 0

% Point d'intersection des deux médiatrices

[ra raB]=IntersectionDeuxDroites(1,-b*c,0,pjk,qjk,rjk);

ra=Factor(ra)

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% Vérification de la cocyclicité des points Oa, Ob, Oc, Ra

Bi=Birapport(oa,ob,oc,ra);
BiB=Birapport(oaB,obB,ocB,raB);

Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné.