Volume d'un tronc et moyenne arithmético-géométrique originale

rferreol
rferreol
Modifié (June 2022) dans Géométrie
Ce post va commencer avec un peu de géométrie mais finir en analyse...
Le point de départ est ce tableau de formules
tiré de http://jymassenet-foret.fr/cours/dendrometrie/coursdendrometrieppt/versionspdfdespptdendro/dendrometriechap4ppt.pdf
Je pensais ces formules approchées (genre formule des trois niveaux) mais elle sont tout à fait exactes, en tous cas pour les surfaces correspondantes.
J'ai rajouté la dernière dans https://mathcurve.com/surfaces/neiloide/neiloide.shtml

Et j'ai remarqué qu'elles sont de la forme $V=\dfrac{\pi h}4M_n(d_0^2,d_s^2)$ ,
où $\displaystyle M_n(a,b)=\frac{\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^n a^{\tfrac{n-k}n}b^{\tfrac kn}}{n+1}$ est une moyenne arithmétique de moyennes géométriques pondérées
$ n = 1$ pour le paraboloïde, $n = 2$ pour le cône, = 3$ pour le néloïde.

Ma question est de montrer la décroissance de la suite $M_n(a,b)$ et de trouver sa limite.
Il doit y avoir de la formule de Bernoulli et des sommes de Riemann dans l'air ?

Réponses

  • Said Fubini
    Said Fubini
    Modifié (June 2022)
    Bonjour,
    $M_n(a,b) =\frac{a}{n+1}\sum _{k=0}^n ((\frac{b}{a})^\frac{1}{n})^k$ .........
    puis montrer que la fonction en n est décroissante.
    et Riemann donne comme limite $ \frac{b-a}{ln(b) -ln(a)}$ et quand b est proche de a , la limite est a .
  • Said Fubini
    Said Fubini
    ci joint graphique de la fonction en n ou x
  • rferreol
    rferreol
    Modifié (June 2022)
    Super, cela va me donner l'occasion de traduire la page manquante en français https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_mean .

    D'autre part la formule $V=\dfrac{\pi h}4M_n(d_0^2,d_s^2)$  donne le volume du tronc de la surface de révolution d'équation cylindrique
     $a^{\alpha-1}z=\rho^\alpha$
    avec $\alpha=2/n$,  $n=1$ pour le paraboloïde, $n=2$ pour le cône, $ n= 3$ pour le néloïde.
    On peut aussi écrire $M_n(a,b)=\dfrac1{n+1}\dfrac{b\sqrt[n]b-a\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b-\sqrt[n]a}$.
  • rferreol
    rferreol
    Modifié (June 2022)
    Bonjour,
    Travaillant du coup sur la moyenne logarithmique je tombe sur une moyenne passionnante, la moyenne identrique : https://en.wikipedia.org/wiki/Identric_mean

    Je me perds en conjecture sur la formation de ce mot valise qu'apparemment son créateur n'explique pas...  Et vous ?
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir Robert,
    Il n'est pas impossible que ce mot soit effectivement un mot-valise formé à partir de "identic" et de "geometric", car une recherche avec Google m'a aiguillé, en première page sur plus de 10000 occurrences, vers l'article suivant :
    Bien amicalement, JLB

  • rferreol
    rferreol
    Merci ! Mais je cherche ce que cette moyenne aurait de géométrique...

    Elle est construite par la formule $f'^{-1}\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$  avec $f(x)=x\ln x$, et la géométrique avec $f(x)=1/x$...

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