Une suite d'intégrales

Gache · June 2022

Bonsoir
je dois étudier la limite de $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{nf(x)}{1+n^\alpha x^2}$ quand $n\to+\infty$ (entier) selon $\alpha\in \R$. $f$ est supposée être continue et bornée sur $\R_+$ et à valeurs réelles.
J'ai majoré directement ou posé $t=n^{\alpha/2}x$ et cela me permet de conclure quand $\alpha\geq 2$ ou quand $\alpha\in\,]0,2[$ et $f(0)\neq0$.
Mais sans autre hypothèse sur $f$, je ne parviens pas à conclure dans la généralité lorsque $\alpha\in\,]0,2[$ et $f(0)=0$, ainsi que lorsque $\alpha<0$. On peut rajouter des hypothèses et ça fonctionne mieux, mais y a-t-il la possibilité de conclure en général ?
Merci d'avance.

L2M · June 2022

La fonction $f$ est bornée sur $\mathbb{R}^+$. Il existe donc un $M,m\in\mathbb{R}$ tel que $m\leq f\leq M$ sur $\mathbb{R}^+$. Ainsi,

$$nm\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+n^\alpha x^2}\text{d}x \leq \int_0^{+\infty}\frac{nf(x)}{1+n^\alpha x^2}\text{d}x \leq nM\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+n^\alpha x^2}\text{d}x$$

C'est-à-dire, puisque $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+n^\alpha x^2}\text{d}x = \frac{\pi}{2n^{\alpha/2}}$, pour tout $n\geq 1$

$$\frac{m\pi}{2}n^{1-\alpha/2} \leq \int_0^{+\infty}\frac{nf(x)}{1+n^\alpha x^2}\text{d}x \leq \frac{M\pi}{2}n^{1-\alpha/2}$$

Gache · June 2022

Je suis d'accord mais $m$ peut être négatif et $M$ positif ... si $f$ est $>0$, il n'y a pas de problème majeur

L2M · June 2022

On ne peut pas conclure donc si $\alpha \in[0;2]$. Il suffit de trouver des exemples.

L2M · June 2022

Comment tu as pu conclure pour $\alpha \in\,]0;2[$ et $f(0)\not=0$ ? Peux-tu détailler ?

Gache · June 2022

Pour $\alpha=2$, on peut en posant $t=nx$. Mais c'est vrai que pour les autres, ce n'est pas clair, comme semblent me le prouver certaines études faites avec Maple. Cela dit, il y a peut-être une étude plus subtile qui m'échappe ...

L2M · June 2022

Je crois que le théorème des résidus donnera la valeur exacte de cette intégrale à condition que $f$ vérifie certaines conditions sur le plan complexe.

Said Fubini · June 2022

Bonjour,
$\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{nf(x)}{1+n^\alpha x^2} =n^{1-\frac{\alpha}{2}} \displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{f(n^{-\frac{\alpha}{2}}t)}{1+t^2}dt$
donc tout revient à étudier la limite de $ \displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{f(n^{-\frac{\alpha}{2}}t)}{1+t^2}dt$ quand $n$ tend vers l'infini.
Le théorème de la convergence dominée, la continuité en $0$ de $f$ et l'existence de la limite de $f$ en $+\infty $ (qu'on doit supposer exister et non nulle) donnent le résultat.

Gache · June 2022

C'est ce que j'ai fait mais ça suppose f(0) non nul pour alpha entre 0 et 2 strictement et donc ça impose une condition, de même qu'en en + oo pour alpha <0 (on peut aussi supposer f intégrable). Mais on ne peut pas se contenter de l'hypothèse initiale...