suite récurrente

Ecris l'équation caractéristique correspondante et trouves-en les racines puis donne l'expression de $u_n$ en fonctino de 2 constantes à déterminer en fonction de $u_0$ et $u_1$.

Bonsoir,

Il s'agit d'une suite récurrente d'ordre $2$. Il est bon de connaître une méthode de résolution générale d'une telle suite. En voici une :

On donne $u_{0}$ et $u_{1}$. $a$ et $b$ sont des réels fixés.
On définit alors la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ par la relation de récurrence d'ordre $2$:
$u_{n+2}+au_{n+1}+bu_{n}=0$.
On note $(E)$ cette dernière égalité.
Il est facile de voir que l'ensemble des solutions de $(E)$ est un $\R-$espace-vectoriel. Sa dimension est égale à $2$ : en effet, l'application qui à une suite $u:=(u_{n})_{n\in\N}$ associe $f(u):=(u_{0},u_{1})$ réalise un isomorphisme de $E$ sur $\R^{2}$.
Ce qui précède justifie la méthode suivante :

On cherche des solutions particulières de $(E)$ sous la forme $u_{n}=r^{n}$, où $r$ est un réel à déterminer.
On s'aperçoit que cela revient à chercher $r$ solution de l'équation dite caractéristique :
$r^{2}+ar+b=0$.
Deux cas sont possibles :
i) Cette équation possède deux solutions distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$. Alors les suites $u_{n}:=r_{1}^{n}$ et $v_{n}:=r_{2}^{n}$ sont des solutions linéairement indépendantes de $(E)$, et donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des $Au_{n}+Bv_{n}=Ar_{1}^{n}+Br_{2}^{n}$, où $A$ et $B$ sont des réels.
ii) Il n'y a qu'une seule solution : $r$. Les suites $u_{n}=r^{n}$ et $v_{n}=n.r^{n}$ sont alors des solutions linéairement indépendantes de $(E)$ (le vérifier !), et donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des $Au_{n}+Bv_{n}=(A+n.B)r^{n}$, où $A$ et $B$ sont des réels.

Si on rajoute des conditions initiales (du type $u_{0}=x$ et $v_{0}=y$, alors on obtient, dans les deux cas, une unique solution : pour cela, on détermine $A$ $B$ en remplaçant successivement $n$ par $0$ et par $1$ : $A$ et $B$ sont alors les solutions d'un système linéaire à deux équations et deux inconnues.

En espérant avoir été clair.

Amicalement.
Olivier.