Une jolie relation : $\cos( a ) \cos ( b ) = \frac12$
Bonjour.
Voici une jolie relation : Cos ( a ) . Cos ( b ) = 1/2.
On remarque bien si les angles a et b ne sont pas constructibles à la règle et au compas,
alors (d’après la relation) le produit cos (a) cos(b) = 1/2 est constructible à la règle et au compas.
Que pensez-vous.
Bien cordialement.
Djelloul Sebaa
Voici une jolie relation : Cos ( a ) . Cos ( b ) = 1/2.
On remarque bien si les angles a et b ne sont pas constructibles à la règle et au compas,
alors (d’après la relation) le produit cos (a) cos(b) = 1/2 est constructible à la règle et au compas.
Que pensez-vous.
Bien cordialement.
Djelloul Sebaa
Réponses
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Merci DjelloulJe pense en effet que ta relation est très jolie car elle va me donner l'occasion de donner un exercice de géométrie certainement plus dur à prouver que la simple contemplation de ta jolie relation!La figure ci-dessous montre le divin cercle trigonométrique tracé en rouge.Contemplons le bien et admirons le car c'est le seul cercle qui nous reste à nous mettre sous la dent.Au moins avec lui , on peut encore comprendre le système de Ptolémée!!!Sur ma figure les points $A$ et $A'$ ont pour abscisse $\cos(a)$ et les points $B$ et $B'$ ont pour abscisse $\cos(b)$Et évidemment comme tu t'en doutes, je me suis arrangé pour que:$$\cos(a).\cos(b)=\dfrac 12$$Et voilà la figure que j'ai obtenue.Ta relation n'est-elle pas jolie?Amicalementpappus
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Pourquoi pas $\cos(a)\times \cos(b)=\dfrac{113}{517}$ ?Que sont $a,b$ dans le premier message?
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BonjourAu moins, avec 1/2, on a $\frac \pi 4$, pour $a$ et $b$, qui vérifie la relation. Après, ce que perd un cosinus, l'autre doit le rattraper.Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
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On peut aussi s'extasier devant la relation $\displaystyle a\times b=\dfrac{1}{2}$
Si $\displaystyle \cos(a)\times \cos(b)=\dfrac{1}{2}$ et si $a,b$ sont dans $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$, sauf erreur, alors $a$ ou $b$ est plus petit ou égal à $\dfrac{\pi}{4}$ et l'autre est plus grand ou égal à cette même valeur. -
Bizarre, ton intuition. $\cos(\frac \pi 3)=\frac 1 2$. Et comme un cosinus est toujours inférieur à $1$, on sent bien qu'on va se balader entre $0$ et $\frac\pi 4$ pour l'un et $\frac\pi 4$ et $\frac\pi 3$ pour l'autre. Donc pas $]0, \frac\pi 2[$. De plus, tu n'as pas le droit d'exclure le zéro, puisqu'on a une solution.
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
Si l'argument d'un point vert est "a", son module est "b". Les points magenta sont sur le cercle unité.
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
J'arrive à voir sur la figure que l'enveloppe des droites $(AB')$ (en noir) est contenue dans l'ellipse $2x^2+\dfrac23y^2=1$ (en orange).
Cependant, les formules sont ignobles. Pour le vérifier, il faudrait montrer que l'expression suivante est uniformément nulle là où elle est définie.64*cos(a)^10 + 128*cos(a)^8*sin(a)^2 + 64*cos(a)^6*sin(a)^4 - 24*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^8 - 48*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^6*sin(a)^2 - 24*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^4*sin(a)^4 - 96*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^7*sin(a) - 128*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^5*sin(a)^3 - 32*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^3*sin(a)^5 - 96*cos(a)^8 - 256*cos(a)^6*sin(a)^2 - 64*cos(a)^4*sin(a)^4 + 16*(4*cos(a)^2 - 1)^(3/2)*cos(a)^5*sin(a) + 16*(4*cos(a)^2 - 1)^(3/2)*cos(a)^3*sin(a)^3 + 36*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^6 + 48*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^4*sin(a)^2 + 24*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^2*sin(a)^4 + 4*(4*cos(a)^2 - 1)*sin(a)^6 + 120*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^5*sin(a) + 120*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^3*sin(a)^3 + 16*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)*sin(a)^5 + 52*cos(a)^6 + 172*cos(a)^4*sin(a)^2 - 4*(4*cos(a)^2 - 1)^2*sin(a)^4 + 16*cos(a)^2*sin(a)^4 - 12*(4*cos(a)^2 - 1)^(3/2)*cos(a)^3*sin(a) - 8*(4*cos(a)^2 - 1)^(3/2)*cos(a)*sin(a)^3 - 18*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^4 + (4*cos(a)^2 - 1)^3*sin(a)^2 - 12*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^2*sin(a)^2 - 6*(4*cos(a)^2 - 1)*sin(a)^4 - 48*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^3*sin(a) - 28*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)*sin(a)^3 - 12*cos(a)^4 - 44*cos(a)^2*sin(a)^2 + 2*(4*cos(a)^2 - 1)^(3/2)*cos(a)*sin(a) + 3*(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)^2 + 6*sqrt(4*cos(a)^2 - 1)*cos(a)*sin(a) + cos(a)^2 + 3*sin(a)^2
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Merci Math Coss de t'intéresser à mon petit problème qui me semble plus intéressant que cette discussion au demeurant triviale sur les nombres constructibles qui aurait été plus à sa place sur le forum d'algèbre!Je ne sais pas comment tu t'y es pris pour mener tes calculs mais pour ma part je trouve une ellipse différente d'équation:$$20x^2+4y^2-5=0$$AmicalementpappusPSUne suggestion?
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Ah ? C'est ennuyeux !Cependant, je trouve de deux façons différentes que l'enveloppe coupe l'axe des abscisses en $\bigl(\frac{\sqrt2}2,0\bigr)$ et pas en $\bigl(\frac12,0\bigr)$ comme « ton » ellipse. D'une part, c'est ce que donnent ces formules ignobles. D'autre part, pour $a=\pi/4$ la droite $(AB')$ est verticale et l'abscisse correspondante est $\cos(\pi/4)$.Par ailleurs, lorsque $a=\pi/3$, le point $B'$ est en $(1,0)$ et la droite correspondante est bien tangente à « mon » ellipse. A contrario le point $\bigl(\frac12,\frac{\sqrt3}2\bigr)$ n'est pas sur « ton » ellipse.
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Mon cher Math CossA vrai dire, je ne me suis guère fatigué!J'ai demandé à mon logiciel, Cabri en l'occurrence, l'équation de l'ellipse enveloppe et c'est la réponse qu'il m'a fournie!Ma suggestion met en évidence les foyers de cette ellipse!Amicalementpappus
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Mon cher Math CossExcuse moi!J'ai tenu compte de tes doléances légitimes!Je me suis trompé dans ma figure!Tu sais que je suis vieux et fatigué.J'ai fait ma figure avec la relation $\cos(a).\cos(b)=\dfrac 14$ en croyant la faire avec la relation $\cos(a).\cos(b)=\dfrac 12$Remarque que la relation $\cos(a).\cos(b)=\dfrac 14$ est toute aussi jolie que la relation $\cos(a).\cos(b)=\dfrac 12$ de Djelloul et conduit de façon identique aux mêmes développements triviaux sur les nombres constructibles!En fait on devrait mener sans difficulté les calculs avec la relation générale:$\cos(a).\cos(b)=Cte=k$Amicalementpappus
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Révérence gardée, en regardant tes deux figures plus attentivement, il me semble bien que tu t'es arrangé pour que $\cos a\cos b=1/4$ au lieu de $1/2$.
On a en effet (mesures approximatives en pixels) : $ob\simeq56$, $oa\simeq182$, $oe\simeq202$, d'où $\dfrac{oa \cdot ob}{oe^2}\simeq0{,}25$.Ce qui incite à traiter le problème avec $\cos a\cos b=k$... Ce que je ne ferai malheureusement (mais certainement) pas tout de suite. -
Bonjour,
Ta grosse expression est effectivement nulle d'après Matlab (commande simplify)!,
Cordialement,
Rescassol
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Merci pour la confirmation. Sage ne parvient pas à faire cette simplification.
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Mon cher Math CossEn faisant mes calculs avec la relation:$\cos(a).\cos(b)=k>0$je suis tombé sur l'ellipse d'équation:$\dfrac{x^2}k+\dfrac{y^2}{k+1}=1$Ce qui prouve que ni toi ni moi nous ne sommes trompés dans nos calculs.De plus la suggestion de ma dernière figure reste valable dans ce cas général.Amicalementpappus
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La construction des points A, A', B, B' est évidente. Mais l'ellipse bleue, c'est quoi ? Que sont ces points ? Suis-je le seul à ne pas suivre ?
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
Mon cher Math CossPar acquit de conscience, j'ai fait la figure avec $k<0$ et voilà ce que j'ai obtenu!Amicalementpappus
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@PetitLutinMalicieux : la conique bleue est l'enveloppe des droites $(AB)$ lorsque $A$ et $B$ sont deux points du cercle unité soumis à la relation $x_Ax_B=k$, avec $k$ fixé à l'avance.
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@PLM: Je n'aurais pas dû exclure $0$, c'est d'accord, mais pour le reste tu as mal lu. Cordialement.
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Bonjour.
Qui peut illustrer cette relation Cos ( a ) .Cos ( b ) = 1/2. en Geogebra.
Bien Cordialement.
Djelloul Sebaa -
Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.On pourrait sans doute s'en tirer avec la défunte théorie analytique des enveloppes et c'est peut-être ce que Math Coss a essayé de faire avec ses calculs ignobles.Je vais donc rester prudemment au niveau du Lebossé Hémery en appliquant ces deux théorèmes qu'on peut trouver page 281, article 434 et page 315, article 482.
Un moment j'ai été tenté de Rescassoliser mais prudemment j'ai décidé de rester avec ces bons vieux réelsLa figure ci-dessous montre le divin cercle trigonométrique toujours aussi rouge et une de ses sécantes $D$ coupant le cercle aux points $M'$ et $M''$ d'abscisses respectives $x'$ et $x''$.L'équation de $D$ est $ux+vy+w=0$.Je projette orthogonalement les points $F(0,1)$ et $F'(0,-1)$ respectivement en $f$ et $f'$ sur la droite $D$.On a:$$\overline{Ff}=\dfrac{v+w}{\sqrt{u^2+v^2}}$$et $$\overline{F'f'}=\dfrac{-v+w}{\sqrt{u^2+v^2}}$$Donc:$$\overline{Ff}.\overline{F'f'}=\dfrac{w^2-v^2}{u^2+v^2}$$D'autre part l'équation aux $x$ des points d'intersection de la droite $D$ avec le divin cercle trigonométrique s'obtient en éliminant $y$ entre les deux équations;$$ux+vy+w=0$$et $$x^2+y^2-1=0$$On trouve:$$x^2+\dfrac{(ux+w)^2}{v^2}-1=0$$c'est à dire:$$(u^2+v^2)x^2+2uwx+w^2-v^2=0$$Et d'après les relations entre coefficients et racines, (sont-elles encore enseignées?), on trouve:$$x'.x''=\dfrac{w^2-v^2}{u^2+v^2}$$Et finalement:$$\overline{Ff}.\overline{F'f'}=x'.x''$$Je vous laisse conclure.
Amicalement
pappus
-
Bonjour à tousAinsi pour tout $k$ tel que $-1<k<1$, l'équation de la conique enveloppe est toujours la même:$$\dfrac{x^2}k+\dfrac{y^2}{k+1}=1$$Logique aurait dit Victor!Amicalementpappus
-
Bonjour à tousUne autre façon de voir les choses pour le taupin d'autrefois qui aurait oublié son Lebossé-Hémery, le petit calcul d'élimination précédent reste valable et prouve que l'équation tangentielle de l'enveloppe de la droite $D$ d'équation $ux+vy+wz=0$ est:$$w^2-v^2=k(u^2+v^2)$$L'enveloppe est donc une conique tangentielle dont la matrice est:$$
\begin{pmatrix}
k&0&0\\
0&1+k&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}
$$La comatrice est:$$
\begin{pmatrix}
-(1+k)&0&0\\
0&-k&0\\
0&0&k(1+k)
\end{pmatrix}
$$L'équation ponctuelle de l'enveloppe est donc:$$-(1+k)x^2-ky^2+k(1+k)=0$$ou encore:$$\dfrac{x^2}k+\dfrac{y^2}{1+k}-1=0$$Mais qui aujourd'hui est encore capable de comprendre ce petit calcul de comatrice!AmicalementpappusPSQuand ça veut pas compiler, ça compile pas.Je ne vois pas d'erreur dans mon $\LaTeX$Au secoursADEdit:Merci Gai Requin.Ca compileYeah! -
Il y a une erreur de signe, c'est plutôt $\mathrm{Diag}(k,k+1,-1)$.
Donc l'enveloppe est une conique ponctuelle de matrice $\mathrm{Diag}(-(k+1),-k,k(k+1))$ (la matrice complémentaire de la précédente).
-
Mon cher Gai RequinJe n'ai pas fait d'erreur de signe.J'ai,la même matrice diagonale que toi!Mais pourquoi mon $\LaTeX$ ne compile pas?Tu as mon texte sous les yeux!Amicalementpappus
-
Ce sont les sauts de ligne qui entraînent une mauvaise compilation.
Si tu tiens vraiment à aller à la ligne pour y voir plus clair dans ton code, il faut taper MAJ+Entrée.
Même procédure pour tes écrits non mathématiques quand tu veux aller à la ligne mais pas en sauter une.$$\begin{pmatrix}
k&0&0\\
0&1+k&0\\0&0&-1
\end{pmatrix}$$ -
Bonjour à tousMaintenant vient quelque chose à laquelle tenaient beaucoup nos anciens!Sur la figure ci-dessous, donner une construction géométrique du point de contact de la droite $D$ avec son enveloppe!Amicalementpappus
-
dsebaa djelloul, je l'ai fait, en affichant la trace de la droite (AB), mais on ne voit rien. L'ellipse n'est que dans tes rêves, et la théorie, bien sûr.
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
@pappus :
Si $D$ a pour équation $ux+vy+w=0$, alors les coordonnées de son point de contact avec l'enveloppe sont $(-ku/w,-(k+1)v/w)$.
Comme $k$ est donné, il est facile de construire l'abscisse de ce point.
-
Merci Gai Requin
Tu n’as pas expliqué comment tu as obtenu ces coordonnées et de plus tu n’as donné aucune construction te contentant de dire qu’elle est facile!
Facile la construction?Vous m’en direz tant!
Amicalement
pappus
PS
Ce n’est pas $k$ qui est donné mais les points de ma figure c’est-à-dire le divin cercle trigonométrique et sa sécante $M’M’’$. -
Soit $M(\alpha,\beta)$ le point de contact.
La polaire de $M$ par rapport à l'enveloppe a pour équation $(k+1)\alpha x+k\beta y-k(k+1)=0$.Cette polaire, c'est $D$, donc $(k+1)\alpha v=k\beta u$ et $k\beta w=-k(k+1)v$.
D'où $\beta=-(k+1)v/w$ et $\alpha=-ku/w$.Pour construire $M$, il suffit de construire $\alpha$.
$N=D\cap Ox$ a pour abscisse $-w/u$.
L'image $N'$ de $N$ par l'inversion de cercle le cercle-unité a pour abscisse $-u/w$.
D'ailleurs, en notant $I(1,0)$ et $I'(-1,0)$, on a $(I,I',N,N')=-1$.
Donc l'homothétie de centre $O$ qui envoie $(0,1)$ sur $(0,k)$ envoie $N'$ sur $(\alpha,0)$. -
On peut retrouver $k$ à partir de $x'$ et $x''$.
En effet, l'inversion algébrique de pôle $O$ qui échange $x'$ et $x''$ envoie $1$ sur $k$.
-
Merci Gai Requin en particulier et surtout pour ton aide sur le $\LaTeX$.Je suis un peu étonné par ton calcul des coordonnées du point de contact.Remarque, c'est sans doute celui que j'aurais fait quand j'étais en Taupe!A ma décharge, à cette époque, je n'avais pas le début du commencement de l'idée de la notion de matrice!On est au vingt et unième siècle, que diable et tu es un brillant algébriste!Pourquoi ai-je calculé ces deux matrices que j'ai eu tant de mal à compiler si ce n'est avec l'intention de s'en servir!Ta construction est exacte mais j'aurais préféré une brave et honnête figure!Amicalementpappus
-
Bonne nuit à tous et faites de beaux rêvesLa procédure standard pour obtenir les coordonnées du point de contact de $D$ avec son enveloppe est de faire opérer la matrice de l'équation tangentielle:$$
\begin{pmatrix}
k&0&0\\
0&1+k&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}
$$sur le vecteur $(u,v,w)$On obtient:$$\Big (ku:(1+k)v:-w\Big)$$qui sont les coordonnées homogènes du point de contact.Ses coordonnées cartésiennes sont donc:$$(-\dfrac{ku}w,-\dfrac{(1+k)v}w)$$Ce sont bien les coordonnées données par Gai Requin!
Encore heureux !
Amicalement
pappus -
Bonne nuit à tous et faites de beaux rêvesVoici ma propre construction ci-dessous faite dans le cas $k>0$Sur ma figure:$$\overline{ON}.\overline{ON'}=\overline{Om'}.\overline{Om''}=k$$J'ai donc construit le cercle de centre $O$ orthogonal au cercle de diamètre $m'm''$. Son rayon est donc $\sqrt k$.J'ai pris l'inverse $N'$ de $N$ par rapport à ce dernier cercle puis j'ai remonté le point $N'$ en $M$ sur la droite $D$.Il existe évidemment bien d'autres constructions du point de contact $M$ mais on peut dire en un certain sens que la mienne comme celle de Gai Requin proviennent de considérations projectives.Elles auraient été incompréhensibles pour le bachelier que j'ai été.Par contre il en existe une autre d'origine euclidienne que j'aurais parfaitement comprise en tant que lecteur assidu du Lebossé-Hémery.Quelle est cette construction?Amicalementpappus
-
@pappus : C'est intéressant ton petit lemme sur le point de contact !
Soit $\mathcal C$ une conique propre de matrice $Q$ et $Q^*$ la matrice complémentaire de $Q$.
Soit $D:ux+vy+wz=0$ une tangente à $\mathcal C$.
Soit alors $M=\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}Q^*$.
On a $M\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}Q^*\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=0$ donc $M\in D$.
De plus, $MQ\;^tM=\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}Q^*QQ^*\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=\det Q\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}Q^*\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=0$ donc $M\in\mathcal C$.
Donc $M$ est bien le point de contact de $D$ avec $\mathcal C$.
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Bonjour Gai RequinPasse un bon dimanche bien mérité!Mon lemme comme tu dis n'est pas de moi et il figure dans tous les bons livres de préparation à l'agrégation comme la Bible du bon Berger!Sur la figure ci-dessous j'ai rajouté en pointillé la construction euclidienne dont je parlais.Comprenne qui pourra!A quoi bon donner des explications dans notre moyen-âge funeste!Amicalementpappus
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Oui, les coordonnées de $M$ ne dépendent que de la droite $D$ puisque $k=\dfrac{w^2-v^2}{u^2+v^2}$.
Et apparemment, la réflexion d'axe $D$ fait le job...
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Merci Gai RequinBizarre que tu n'aies pas remarqué que cette construction euclidienne en pointillé n'est autre que la construction de la tangente en un point d'une ellipse au moyen des foyers!Quant à notre construction (projective commune) du point de contact $M$ de $D$ avec son ellipse enveloppe, elle revient à dire que $M$ est à l'intersection de $D$ avec la polaire du point $N$ par rapport à l'ellipse!
Amicalement
pappus -
Je suis nul en géométrie euclidienne !
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Bonsoir Gai RequinTu connais l'axiome de Pythagore ?Eh bien aujourd'hui ça suffit pour être un bon spécialiste de la géométrie euclidienne !Le reste n'a strictement aucune importance !
Amicalement
pappus
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