Équations congruences
Bonsoir
Je ne comprends pas la première équivalence.
Pour l'exercice, je ne sais pas faire quand il y a 3 équations, je n'arrive pas à appliquer le cours et je n'ai pas compris le corrigé.
Je ne comprends pas la première équivalence.
Pour l'exercice, je ne sais pas faire quand il y a 3 équations, je n'arrive pas à appliquer le cours et je n'ai pas compris le corrigé.
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Réponses
Vraiment, toujours le même problème, aucune prise d'initiative. Rien de rien, niveau 0 en maths.
Ok.
Donc tu gardes uniquement 2 équations, et tu trouves un certain résultat. Autrement dit tu trouves une nouvelle équation.
Et dans un second temps, tu arrives à un nouveau système avec 2 équations.
Est-ce que tu sais faire quand il y a 2 équations ?
Bonne lecture. Tu devrais lire ça c'est orienté exprès pour les autodidactes
Et ne dis pas "gnagna pas au programme" tu as déjà perdu 1 semaine récemment pour un exo hors de portée et 1 mois pour un exo d'agreg sur lequel tu n'as rien retenu. Tu peux bien perdre 20 minutes pour apprendre un truc utile et pas compliqué pour résoudre ce type d'exo (et en plus c'est au programme de l'interne).
@noobey ok mais le corrigé n'utilise pas le théorème des restes chinois. Je ne comprends pas quelle méthode ils utilisent.
En fait le théorème des restes chinois est vu dans un autre chapitre.
Maintenant, si on donne un 'corrigé' au collégien, il n'aura plus envie de chercher, et donc il ne trouvera pas.
Bon je pense avoir compris. ! L'idée est de faire apparaître des $1$ dans les équations dans une ligne et des $0$ sur les autres. Ce n'est pas dur mais les calculs sont fastidieux.
On cherche une relation de Bezout entre $7$ et $9 \times 5$.
On a $\boxed{7 \times 13 + (9 \times 5) \times (-2)=1}$
On cherche une relation de Bezout entre $9$ et $7 \times 5$.
$35 = 9 \times 3 +8$
$9= 8 \times 1+1$
Donc $1 = 9 -(35 -9 \times 3)= \boxed{ (-1) \times (7 \times 5 )+ 9 \times 4=1} $
On cherche une relation de Bezout entre $5$ et $7 \times 9$.
$63 = 12 \times 5 +3$
$5= 3 \times 1+2$
$3=2 \times 1+1$
Donc $1 = 3 - (5-3) =2 \times (63 -12 \times 5)-5 = \boxed{ 2 \times (7 \times 9 )+ (-25) \times 5 =1} $
$ (9 \times 5) \times (-2) \equiv 1 [7]$
$ (9 \times 5) \times (-2) \equiv 0 [9]$
$ (9 \times 5) \times (-2) \equiv 0 [5]$
$ (7 \times 5) \times (-1) \equiv 0 [7]$
$ (9 \times 5) \times (-2) \equiv 1 [9]$
$ (9 \times 5) \times (-2) \equiv 0 [5]$
$ (7 \times 9) \times 2 \equiv 0 [7]$
$ (7 \times 9) \times 2 \equiv 0 [9]$
$ (7 \times 9) \times 2 \equiv 1 [5]$
Etc. Donc $x_0 = 1 \times (-90) + 4 \times (-35) +3 \times 126 =148$ est une solution.
Les solutions sont donc les $x$ tels que $x-x_0$ est multiples de $7,9,5$ donc du $PPCM(7,9,5)=7 \times 9 \times 5 =315$.
Donc les solutions sont les entiers de la forme $\boxed{148 +315k}$ avec $k \in \Z$.
On cherche d'abord un nombre égal à 1 modulo 7 et à 4 modulo 9.
On fait cette recherche entre 1 et 63. A partir d'une solution a, tous les a+63k sont également solutions.
Entre 1 et 63, les nombres qui sont égaux à 1 modulo 7 sont 1, 8, 15, 22, 29, ...
Il y en a 1 et 1 seul qui est égal à 4 modulo 9 (normal, c'est un résultat connu), et c'est 22.
On cherche ensuite un nombre égal à 22 modulo 63 et à 3 modulo 5
63 et 5 étant premiers entre eux, on sait qu'on trouvera un nombre et un seul entre 1 et 315.
Les nombres 63k+22 sont 22, 85, 148 , et inutile de regarder plus loin. Ce 148 convient.
Donc toutes les solutions sont les $148+315k, k \in \mathbb{Z}$
C'est une méthode de collégien, rien de long ni de fastidieux.
Mais évidemment, ce ne sera pas expliqué dans des livres de prépa ou de doctorat.
Je préfère celle du livre.
Il aurait pu s'appeler NABILLA c'eut été pareil
ojsanssimpson
Edit. @ojsanssimpson C'est un "vous" au pluriel, ça concerne au moins 3 personnes sur ce fil. Cependant je salut vos efforts à tous les 3 pour la partie mathématique de votre contribution.
Il n' y a aucun manque de Respect..
Je pense que vous devriez suivre les différents fils d'Oshine vous comprendriez..
Si votre message ne m'était pas adressé, alors mille et une excuses
ojsanssimpson
Si tu avais regardé les vidéos que je t'ai conseillées,tu aurais compris très vite.
Tu perds un temps infini à taper tes questions et tes réponses.
(*) : je n'ai fait que reprendre la formule donnée dans le corrigé, l'erreur typographique en moins.