De l'eau dans l'alcool

PG
PG
Modifié (June 2022) dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour
Un autre classique (pour TC), issu d'une brochure APMEP ancienne que j'ai perdue.

Deux récipients A et B ont une contenance de 2 litres chacun.
Au départ, A contient 1 litre d'eau et B contient 1 litre d'alcool à 90°.
Manipulations successives.
-Etape 1. On commence par verser une proportion p de A dans B puis ensuite une proportion q de B dans A.
-Etape 2 et suivantes. On recommence l'étape 1.
On appelle respectivement an et bn les titrages d'alcool des récipients A et B à l'étape n.
Questions.
Déterminer les expressions de an et bn.
Étudier la convergence de chacune des suites (an) et (bn).

La théorie des graphes, enseignée maintenant dans le secondaire peut aider, mais à l'époque elle n'était pas enseignée.
Cordialement.
PS : l'abus d'alcool est dangereux.
      Hic ! mille sabords !
PG

Réponses

  • Sato
    Sato
    En pratique il y a des tables empiriques à utiliser avec ces titres volumétriques (encore un problème concret bidon, désolé… je ne dis pas que ce n’était pas intéressant mathématiquement).

  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Modifié (June 2022)
    Pas au courant des tables empiriques. Par contre, pour les maths, je ne sais pas si je m'y prends comme un manche mais ça me semble difficile pour le niveau terminale.
    Si $U_n$ et $V_n$ représentent les volumes totaux de liquide de $A$ et $B$ à l'étape $n$, on obtient facilement que $U_n$ et $V_n$ suivent la récurrence $$\begin{align*}U_{n+1} &= (1-p+pq)U_n + q V_n\\ V_{n+1} &=p(1-q)U_n+(1-q)V_n\end{align*}$$ partant de $U_0=V_0=1$, ce qui donne dans le cas générique $pq(1-p)(1-q)\neq 0$: $$\begin{pmatrix} U_n \\ V_n\end{pmatrix} = \frac{1}{p+q-pq}\left\{ (U_0+V_0)\lambda_1^n\begin{pmatrix} q \\ p(1-q)\end{pmatrix}+(p(1-q)U_0-qV_0)\lambda_2^n\begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}\right\}$$ où $\lambda_1=1$ et $\lambda_2=(1-p)(1-q)$.
    Les volumes respectifs d'alcool, $u_n$ et $v_n$, suivent la même récurrence et ont une expression similaire mais partent de $u_0=0$ et $v_0=1$.
    On cherche $a_n:=u_n/U_n$ et $b_n:=v_n/V_n$ et leurs limites. L'expression exacte de $a_n$ et $b_n$ n'est pas jolie à voir (ça justifierait l'emploi de tables), mais leurs limites respectives sont, compte tenu de $\lambda_1=1$, $0<\lambda_2<1$:$$\lim_{\infty} a_n = \lim_{\infty} b_n= \frac{u_0+v_0}{U_0+V_0} = \frac{1}{2}$$
    Après je bloque.
  • JLT
    JLT
    Attention l'alcool à 90° n'est pas de l'alcool pur. Je note $x_n$ la quantité d'alcool dans le récipient $A$ et $y_n$ la quantité de liquide dans le récipient $A$. Soit $\lambda=(1-p)(1-q)$. Je trouve que $x_{n+1}=\lambda x_n + 0,9 q$ et $y_{n+1}=\lambda y_n +2q$ ce qui donne $x_n=\frac{0,9q}{1-\lambda}(1-\lambda^n)$ et $y_n=\lambda^n +(1-\lambda^n)\frac{2q}{1-\lambda}$, et $a_n=\frac{x_n}{y_n}$ tend vers $0,45$, comme escompté. Aux erreurs de calcul près.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Merci pour ta vigilance ! J'avais raté le 90°. Il faut changer $v_0=1$ dans ma formule en $v_0=0.9$.
    Je trouve toujours cet exercice nettement au-dessus de ce qu'on pouvait faire en terminale à mon époque. Pour la résolution j'ai utilisé la diagonalisation de matrice, inconnu au bataillon pour moi au moment du bac. Y avait-il une autre manière ?
    Après je bloque.
  • JLT
    JLT
    Modifié (June 2022)
    Soit $x_n$ la quantité d'alcool dans $A$ et $z_n$ la quantité d'alcool dans $B$ à l'instant $n$. On a $x_0=0$ et $z_0=0,9$. Par ailleurs, $x_n+z_n=0,9$ pour tout $n$.
    Après transfert de la proportion $p$, on a $(1-p)x_n$ dans $A$ et $z_n+px_n$ dans $B$.
    Après transfert de la proportion $q$, la quantité d'alcool dans $A$ est $x_{n+1}=(1-p)x_n+q(z_n+px_n)=(1-p+pq)x_n+qz_n = (1-p+pq)x_n+q(0,9-x_n)=\lambda x_n + 0,9 q$.
    La suite $(x_n)$ est arithmético-géométrique, c'est standard dans le programme de terminale. On raisonne de même pour la quantité totale de liquide dans $A$, etc.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Modifié (June 2022)
    JLT, merci. Je me doutais que je m'étais compliqué la vie, sans pouvoir trouver où.
    Plus précisément: il me manquait la relation $x_n+z_n=\mathrm{cst}$ (dans mes notations: $u_n+v_n=\mathrm{cst}$) qui simplifie tout...
    Après je bloque.
  • Sato
    Sato
    Modifié (June 2022)
    Calcul des titres et des volumes d'alcools

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Il me semble qu’un litre d’eau plus un litre d’alcool pur ne font pas exactement 2 litres de mélange mais un peu moins.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Sato
    Sato
    Et ça dépend de la concentration et de la température. L’effet est suffisamment important pour que le hobbyiste aussi bien que les alcooliers doivent en tenir compte. 

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