Une ponctuelle de Newton
Bonjour,
un résultat de Newton datant de 1687 bien connu mais dont les preuves synthétiques sont souvent absentes...Je me suis penché sur ce problème...
un résultat de Newton datant de 1687 bien connu mais dont les preuves synthétiques sont souvent absentes...Je me suis penché sur ce problème...
1. (O) un cercle,
2. ABCD un quadrilatère circonscrit à (O)3. I, J les milieux resp. de [AC], [BD].
Question : (IJ) passe par O.
Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Serait-ce une piste ?
Avec Morley:
La propriété à démontrer est équivalente à $\dfrac{(t + w)(u + v)}{(t + u)(v + w)}\in\mathbb{R}$, d'où l'idée de peut-être faire intervenir le quadrilatère TUVW et les milieux de ses côtés.
Cordialement,
Rescassol
merci à tous...
J'attends une preuve synthétique (sans cercles) ce qui est rare, voire inexitant, dans la littérature géométrique...
Sincèrement
Jean-Louis
"J'attends une preuve synthétique (sans cercles) " alors qu'il y a un cercle dans l'énoncé !!??
Cordialement,
Rescassol
oui c'est aussi une très belle approche que de penser à la technique des aires que j'avais utilisée pour le droite de Newton-Gauss...
Avec toutes mes amitiés.
Jean-Louis
Cordialement, Pierre.
Je ne prétends faire aucun calcul analogue à ceux de ton glossaire exigeant une bonne maîtrise de la géométrie projective.
Tout au plus je demande d’utiliser la notion d’aire algébrique pour résoudre ce petit exercice ainsi qu’une bonne connaissance des propriétés des quadrilatères circonscriptibles.
Amicalement
pappus
Il n'y a pas besoin de maitriser on ne sait quelles connaissances surnaturelles pour remarquer que la conique dont on cause est inscrite dans le triangle $A,B,E$ tandis que la droite $FDC$ est une transversale à ce triangle. La propriété demandée n'est donc autre que la propriété de Newton sur les coniques tangentes à quatre droites données.
Comment faire pour que la conique soit un cercle ? Si l'on dispose d'une bonne maîtrise des triangles inscrits, on peut se dire qu'il faut et suffit que la transversale soit l'une des tangentes aux cercles inscrit/exinscrits dans le trigone des trois premières droites. Cela ne semble pas demander un niveau bac+99!
Cordialement, Pierre.
On a une propriété plus ou moins affine: les $\linf$ centres des coniques quadritangentes sont sur la droite des $\linf$ milieux. Pour chaque conique, on considère la métrique qui circularise cette conique en un beau cercle. Et alors les sommes des longueurs des côtés opposés sont égales. On multiplie par le rayon qui a la même mesure dans chaque direction (=définition d'un cercle). Et alors la somme alternée des aires est nulle. Ensuite de quoi, le milieu d'un segment découpe ce segment en deux moitiés isométriques. On utilise alors que l'aire d'un triangle est le produit base par hauteur. On voit sur la figure que les triangles tournent dans des sens opposés (on peut aussi sortir les axiomes de Pasch de leur étagère, cela fait plus riche). Et alors la somme alternée continue dêtre nulle. Il reste à remarquer que le noyau d'une forme linéaire (ayant le bon rang) est une droite. Puis à conclure que si c'est vrai de chaque conique, cela est vrai de toutes les coniques.
Utiliser les aires algébriques pour éviter de faire un peu d'algèbre, ah que voilà une belle pirouette.
Cordialement, Pierre.
une preuve très courte liée à l'homographie a attiré mon attention...pappus doit être satisfait...
Sincèrement
Jean-Louis
j'ai voulu te faire plaisir en renouant avec mes premières études de Taupe...
J'espère que tout va bien...pour toi et les tiens...Ici le Covid repart...
Amitiés
Jean-Louis