\(x^2+1=0\) dans \(\mathbb{F}_q\)

Bonjour à tous
Dans une démonstration, je tombe sur l'assertion suivante : "si \(-1\) n'est pas un carré dans \(\mathbb{F}_q\) (corps fini a \(q\) éléments), alors on se place dans l'extension \(\mathbb{F}_{q^2}\) dans laquelle c'en est un".
Je ne suis pas très à l'aise avec les corps finis, donc je me permets de vous demander si ma compréhension de cette affirmation tient la route.

- \(\mathbb{F}_{q^2}\) est une extension de \(\mathbb{F}_{q}\) : c'est un corps de rupture de \(X^2+1\) sur \(\mathbb{F}_q\) (\(X^2+1)\) qui est bien irréductible car \(-1\) n'est pas un carré - quand le degré du polynôme est inférieur à \(3\), il suffit de prouver qu'il n'y a pas de racine pour démontrer l'irréductibilité) ;
- par le point précédent, \(\mathbb{F}_{q^2}=\mathbb{F}_q(\alpha)\) où \(\alpha^2+1=0\), donc \(-1\) est une carré dans \(\mathbb{F}_{q^2}\) (c'est le carré de \(\alpha\)).

En vous remerciant pour l'aide que vous m'apporterez,sont
K.