La notion de "problème" en mathématiques
Je lisais une page de ce forum qui parlait de la notion d'équations et j'ai bien aimé certaines interventions, notamment celle de @Foys, je me demandais si on pouvait faire la même chose mais pour la notion plus générale de "problème":
Comment définir la notion de problème par rapport à un langage du second ordre ?
Comment définir la notion de problème par rapport à un langage du second ordre ?
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Réponses
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je conçois la notion de "problème" comme étant une génération de la notion d'équations.
Par exemple pour un langage L du premier ordre donné, j'appellerais problème du premier ordre relatif à L tout couple (F,x) où F est une formule de L et x est une application injective d'un entier vers l'ensemble des variables de L telle que l'ensemble des variables libres de F est inclus dans l'image de x.
Cela revient plus ou moins à ramener la notion de problème à celle de prédicat.
Je me demande si cette vision des problèmes est exhaustive.
Problème : long et dur
Je suis surpris que ce mot exercice apparaisse une seule fois dans cette discussion (discussion sans vrai intérêt, reconnaissons-le).
@Foys et @Médiat_Suprème
Soient L un langage du premier ordre et M une L-structure, on peut voir l'ensemble des parties définissables par rapport à (L,M) comme une structure sur le langage fonctionnel ayant pour symboles l'union, le passage au complémentaire, les projections et les "rotations" et ayant pour symboles de constante les interprétations des symboles de L dans M. J'appelle ce nouveau langage J, je vois la résolution d'une équation (ou d'un problème selon la définition que j'ai donné) comme la donné d'un terme de J dont l'interprétation est l'ensemble des solutions. (Sinon je ne vois pas ce qui empêche un étudiant de répondre : "l'ensemble des solutions de (x=5x+2,(x,y)) est $\{ (a,b)\in \mathbb R ^2;a=5a+2\}$", en effet, l'étudiant aurait donné l'ensemble des solutions )
Mon intérêt dans cette discussion que j'ai proposé est que les (F,x) sont très semblables à des équations mais leur utilité est sans limite:
1) la collection des espaces vectoriels est la collection des solutions d'un (F,x) particulier où dom(x)=1
2) la collection des ordinaux pareil que "1)"
3) la collection des catégories est la collection des solutions d'un (F,x) particulier où F est une formule du second ordre.
Il semble que les objets mathématiques qui nous intéressent sont souvent introduits en tant que solutions d'un (F,x). La "définition" philosophique que j'ai de la notion de problème semble coïncider avec les (F,x), c'est pour cela que je voulais avoir les avais de tout le monde sur la notion de problème et aussi pour savoir si selon vous la définition que je donne est exhaustive.
-- Schnoebelen, Philippe
1) problem solving
Si on arrive à définir les notions de "problèmes" et "résoudre un problème" alors on aura "trivialisé" une bonne partie de l'activité mathématiques.
Tu marques un point. Trivialiser est un mot trop fort.
Quand je donne des exercices/problèmes aux élèves je préfère leur parler de données (on sait) plutôt que d'hypothèses (on suppose) en leur disant que dans le cadre de cet exercice ces informations sont vraies. On peut donc s'en servir pour vérifier les conditions des théorèmes et s'en servir. Du coup on est plutôt dans le cadre "A vrai et A=>B donc B" que simplement "A=>B". C'est grave docteur ?
Au final cela ne change rien à la structure de la démonstration (ou pas ?) mais les élèves arrivent beaucoup mieux à appréhender. Bon c'est aussi la cause de notre incompréhension mutuelle avec Dom puisque lui ne sort du pas cadre A=>B.
En utilisant les mots magiques "modus ponens" avec un peu de chance les logiciens vont te considérer comme guéri
(*) Ce mot peut avoir plusieurs sens (plus ou moins pragmatique)
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse