Loi de Poisson

Alexique · June 2022

Bonjour,
une petite question d'un exo me trouble.
Le tableau suivant recense sur les 150 derniers jours ouvrables le nombre de ventes effectuées par jour dans une agence immobilière :
$$
\begin{array}{ c || c | c | c | c | c | c }
\text{Nombre de ventes } k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
\text{Nombre de jours } n_k & 33 & 54 & 32 & 19 & 10 & 2
\end{array}
$$
On va modéliser le nombre de ventes $k$ réalisées par jour par une loi de Poisson de paramètres $\lambda$ inconnu. Pour un échantillon de $n$ jours, on désigne par $N_k$ le nombre de valeurs observées égales à $k$.
Question. Pour $k \geq 0$, quelle est la loi de $N_k$ ? Montrer que $\frac{N_0}{n}$ est un estimateur sans biais de $e^{-\lambda}$.
Merci.

P.2 · June 2022

Aucun rapport avec l’échantillon numérique il me semble. Si $X_1,\cdots,X_n$ sont indépendantes de même loi de Poisson de moyenne $\lambda$ la proba que $X_1=k$ est $ e^{-\lambda}\lambda^k/k!=p_k$ et donc $N_k$ est binomiale $B(n,p_k)$, et $N_k/n$ est un estimateur non biaisé de $p_k$, ce qui est particulièrement utile pour $k=0$ car $p_0$ est simple.

Si on applique cela à l’échantillon numérique, l'estimateur de $e^{-\lambda}$ est $1/(4,5),$ et donc celui de $\lambda$ (biaisé) est $1,5$ alors que l'estimateur (non biaisé) de $\lambda$ égal à $\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$ est aussi $1,5$. Je ne sais pas ce qu'en pense un vrai statisticien, mais ça me parait trop beau pour être vrai. Je veux dire que l’échantillon me parait fabriqué ad hoc.

Alexique · June 2022

Bonjour,

merci ! Pas si simple, c'est donc "un genre de binomiale conditionnée à une Poisson". Pour un TD de "L2 économie", ça commence à piquer.
Oui, très certainement que l'échantillon est construit pour que cela coïncide. Après, on voudra que la variance tende le plus vite possible vers $0$ et là, on peut peut-être distinguer les 2 estimateurs. Mais à priori pas de raison que $\frac{1}{n}\sum_{i=0}^5 k_i n_i \approx -\ln(\frac{n_0}{n})$

P.2 · June 2022

heu, il n'y a aucun conditionnement : juste une application du schéma succès échec appliqué au succès à l'instant $i$ qui est $X_i=k$ et échec si $X_i\neq k.$

Alexique · June 2022

Ok, entendu. Je suis un peu perturbé par cette proba de succès qui est une proba d'une autre loi mais ça n'est pas une loi conditionnelle pour autant.

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