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Construction des foyers d'une conique

Louis Le Goff0Louis Le Goff0
Modifié (May 2022) dans Géométrie
Bonjour,
comment construire les foyers d'une conique définie par cinq points ?

Merci de m'éclairer
Cordialement
Louis Le Goff
«1

Réponses

  • gbgb
    Bonjour,

    Le sujet a déjà été abordé sur le forum.
    Tu peux commencer par lire ce document.
  • pappuspappus
    Je rappelle ce que j'ai déjà dit sur ce sujet:
    il est en principe plus simple de construire les foyers d'une conique tangentielle en vertu du théorème suivant:
    Dans le plan euclidien, on se donne deux droites $L$ et $L'$ et une homographie $f: L \longmapsto L'; m \mapsto m'$
    Soit $\Gamma$ la conique enveloppe des droites $mm'$.
    L'application $f$ se prolonge de façon unique en une transformation circulaire directe $g$ dont les points fixes sont les deux foyers de $\Gamma$.
    Ce théorème conduit effectivement à une construction des foyers à la règle et au compas.
    Amicalement
    Pappus
  • Louis Le Goff0Louis Le Goff0
    Pappus, merci pour cette prompte et utile réponse.
    Amicalement
    Louis Le Goff
  • pappuspappus
    Je dois ajouter qu'il faut connaître un bon bout de géométrie circulaire avant d'arriver à cette construction.
    Autrement dit, étant donnés 3 points $A$, $B$, $C$ et 3 autres points $A'$, $B'$, $C'$, comment construire les deux points fixes de l'application circulaire directe $f$ telle que $f(A) = A'$, $f(B) = B'$, $f(C) = C'$.
    Comme le dirait Michel Coste, c'est exactement un problème du second degré dans le champ complexe.
    Amicalement
    Pappus
  • Louis Le Goff0Louis Le Goff0
    La construction est fastidieuse, mais quand on aime...ça marche, avec l'aide de Geogebra.
    D'abord Théorème de Pascal autant de fois qu'il le faut pour construire des cordes parallèles, puis par les milieux constructions de 2 couples de diamètres conjugués, desquels on déduit les axes de l'ellipse. Puis construire deux couples de points conjugués sur chaque axe (utiliser en particulier centre et point à l'infini) pour déterminer les intersections des axes avec l'ellipse. Et enfin simplement les deux foyers.

    Entendu Pappus j'en profite pour creuser les bouts manquants de géométrie circulaire et d'homographie. Merci à toi et à Michel Coste.
    Amicalement
    Louis LeGoff
  • pappuspappus
    Avec Cabri, c'est beaucoup plus simple puisqu'il sait prendre l'intersection d'un cercle et d'une conique.
    Une fois le centre de la conique obtenu, on trace un cercle dont le centre est le centre de la conique et passant par un point de la conique.
    L'intersection de ce cercle avec la conique fournit un rectangle dont les axes sont justement ceux de la conique, etc...
    Amicalement
    Pappus
  • Louis Le Goff0Louis Le Goff0
    Oui bien sûr, mais le plaisir c'est de constuire uniquement avec la règle et le compas.
    Amicalement
    Louis Le Goff
  • pappuspappus
    Le principal plaisir, c'est de montrer que cette construction existe sans être obligé d'en exhiber une car il faut bien avouer que dans la pratique et dans la théorie, ça ne sert pas à grand chose.
    Par contre peu d'étudiants savent construire à la règle et au compas les deux tangentes issues d'un point à une conique et en déduire les deux théorèmes de Poncelet concernant ces tangentes!
    Amicalement
    Pappus
  • Louis Le Goff0Louis Le Goff0
    Bonjour,

    Comment est définie la conique ?
    Si je fais l'hypothèse, pour rester sur la même idée, qu'elle est définie par cinq points, je crois savoir, bien que la méthode soit un peu "poussive", construire les deux tangentes issues d'un point extérieur M.
    -construire la polaire de M en partant de 2 sécantes issues de M et des conjugués harmoniques de M
    -puis avec 2 couples de 2 sécantes, issus chacun de 2 points différents de la polaire il est possible de construire les points d'intersection de la polaire avec la conique.

    mais, de là à en déduire les théorèmes de Poncelet ? Aide bienvenue !

    Amicalement
    Louis Le Goff
  • pappuspappus
    Les deux théorèmes de Poncelet font intervenir les définitions bifocales.
    Autrement dit comment construire à la règle et au compas les tangentes à une conique définie par ses deux foyers et un cercle directeur.
    Ils concernent donc en premier lieu les ellipses et les hyperboles.
    Néanmoins, la parabole n'échappe pas à ces deux théorèmes sans doute en vertu de mon principe, pouvait dire Victor!
    Amicalement
    Pappus
  • ClaironClairon
    Pappus a écrit:
    Par contre peu d'étudiants savent construire à la règle et au compas les deux tangentes issues d'un point à une conique et en déduire les deux théorèmes de Poncelet concernant ces tangentes !

    Même si sur le papier, je ne suis plus étudiante cette année, je me considère faisant partie des étudiants ne sachant pas... ; puisque, malheureusement, je n'ai, pour ainsi dire, pas fait de géométrie pendant mes études.
    Peut-être que Pappus m'offrira une petite explication pour la construction des deux tangentes avec de beaux dessins !

    Amicalement,
    Clairon.
  • chephipchephip
    Bonjour,

    Pour voir diverses constructions animées (applets Java) concernant les coniques, on peut parmi d'autres aller consulter mon site à l'adresse coniques

    On y trouve une construction animée pas à pas des foyers etc. d'une conique définie par 5 points,
    la construction des tangentes issues d'un point donné à une conique définie par foyer et cercle directeur etc...
    Généralement les démonstrations sont données, ou tout au moins suggérées.

    Amicalement.
  • SwingmustardSwingmustard
    Modifié (May 2022)
    Bonjour,
    Une question ou deux sur le beau document de Michel Coste cité par gb il y a douze ans, et dont je recopie un dessin.
    Partant d'une ellipse dont on connaît deux paires de diamètres conjugués (l'une en violet, l'autre en vert), utilisons une involution de Frégier pour construire les axes de l'ellipse.
    Je cite : "La conjugaison des diamètres donne une homographie involutive sur le faisceau de droites passant par le centre $O$ de $\varepsilon$, qu’on peut transporter en une homographie involutive sur un cercle $\Gamma$ de centre $I$ passant par $O$."
    Si je comprends bien, la première involution échange les droites $Oa$ et $Oa'$, ainsi que les droites $Ob$ et $Ob'$.
    (Pour moi : un peu mystérieux, mais parfaitement crédible.)
    Le centre $I$ de $\Gamma$ peut être choisi à peu près n'importe comment, et la bonne idée de le faire passer par $O$ lui fait rencontrer deux fois chaque paire de diamètres conjugués.
    Le tour de force : il "transporte" chaque droite issue de $O$ sur son intersection (point bleu) avec $\Gamma$.
    Le caractère involutif est clairement conservé.
    D'après Jean-Denis Eiden page 240, les involutions du cercle qui ne sont "pas de Frégier" sont plutôt rares, pourtant je ne saurais pas garantir que l'involution actuelle en est une. Cela dit, (au moins) le dessin laisse à croire que c'est le cas, avec un centre $\Omega$ habilement trouvé.
    On termine avec ce bon vieux théorème de Cinquième : la seule corde vue sous un angle inscrit droit est le diamètre, ici $I\Omega$ !

    Amicalement,
    Swingmustard
  • pappuspappus
    Bonjour à tous
    Pour voir si on a tout compris.
    Construire les foyers d'une conique inscrite de perspecteur $P$
    Amicalement
    pappus

  • SwingmustardSwingmustard
    Modifié (May 2022)
    Arrrgh !
    Un premier merci pappus pour l'indication (plus haut dans la discussion) qu'avec un cercle de même centre et les axes du rectangle induit, les foyers d'une conique donnée ne restent pas inconnus bien longtemps. J'ignore si geogebra avait à l'époque le retard sur cabri consistant à ne pas nous donner l'intersection d'un cercle et d'une conique, mais depuis, le logiciel fait cela très bien.
    Deuxième merci. Il se peut que tu l'aies deviné : c'est bien le perspecteur qui m'amène ici ! Après "$P=G=X(2)$ ssi la conique circonscrite est l'ellipse de Steiner" (obligeamment signalé par toi) et "$P=X(6)$ le point de Lemoine ssi la conique est le cercle circonscrit", je cherchais d'autres cas aussi "simples", ne trouvais rien et me disais qu'il était temps de m'intéresser aux foyers.
    On sait que le foyer et sa directrice sont un cas de pôle et de polaire, d'où un birapport harmonique "entre eux".
    Question : existe-t-il au moins un autre birapport intéressant mettant en jeu le foyer ? 
    Pour l'instant, je ne sais pas répondre à ta question, mais (sans ironie) je te remercie de la poser.
    J'ai compris récemment que si $A''$ est la deuxième intersection de la conique (disons $\Gamma$ ?) avec la cévienne $AP$, alors $(A,A',P,A'')=4$, mais quelque chose me dit que pour répondre à ta question, ça ne nous sert à rien...
    Je crois que je vais commencer par me poser la même question sur une conique circonscrite, puisque dans l'étude, celle-ci semble souvent précéder la conique inscrite, et que j'ai encore un peu de mal avec "l'adjonction" de matrices qui lie les deux.
    Amicalement,
    Swingmustard

  • ChaurienChaurien
    Pour Clairon.
    Pour ceux qui comme elle ont eu le malheur de ne pas faire de géométrie au cours de leurs études, on peut conseiller le traité de géométrie de Lebossé-Hémery, qui est une valeur sûre. Gabay l'a réimprimé, mais en se débrouillant les maniaques comme moi peuvent trouver une édition d'époque (1961), ou une version numérisée.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • SwingmustardSwingmustard
    Merci Chaurien pour ces deux théorèmes de Poncelet.
    @pappus : vas-tu nous faire passer par le centre $O$ de la conique ? Tu m'as montré ailleurs que $O$ est l'image de $P$ par l'isotomie relative au triangle médial. Je bloque quand même.
    Amicalement,
    Swingmustard
  • pappuspappus
    Modifié (May 2022)
    Mon cher Swingmustard
    Effectivement le centre joue un rôle dans cette construction sauf pour les paraboles qui sont à part, penser au point de Steiner
    Il se trouve que Poulbot et moi avons souvent parlé de cette construction dans des fils anciens que je serais bien incapable de retrouver.
    Tout ce que je peux dire, c'est que cette construction est basée sur la défunte géométrie circulaire.
    Donc on peut dormir tranquille dans notre république analphabète!
    Cette construction n'a plus la moindre importance aujourd'hui!
    Amicalement
    pappus
  • pappuspappus
    Bonsoir à tous
    Il est très facile de construire le centre $O$ d'une conique inscrite de perspecteur $P$ quand ce centre existe.
    D'autre part les foyers d'une conique inscrite sont des points isogonaux (Poncelet).
    Tout revient donc à construire les isogonaux de milieu donné et c'est justement ce que fait la construction de Poulbot.
    Pas besoin d'en savoir plus, c'est une perte de temps!
    Amicalement
    pappus
  • SwingmustardSwingmustard
    Modifié (May 2022)
    Cher pappus,
    C'est vrai que le terrain semble avoir été labouré. Une version de la "figure de @poulbot et de @pappus" est dans ce message de la discussion Question de conique à centre initiée par @Jelobreuil en 2018.
    Je recopie la fin : une fois qu'on a l'axe focal (par exemple grâce à un rectangle ou à une involution de Frégier, voir ci-dessus), on le coupe par un côté en un point $P$ et par la normale au point de contact en un point $Q$.
    $F$ et $F'$ apparaissent comme intersections de l'axe focal avec le cercle de centre $O$ orthogonal au cercle de diamètre $PQ$.
    Comblé je suis, qui demandais si un autre birapport intéressant concernait les foyers : $(P,Q,F,F')=-1$, pour cause de cercles orthogonaux.
    Le fil cité mentionne plusieurs étapes, avec toutes sortes de géométries. J'ai l'impression que le perspecteur (que j'ai rebaptisé $R$ pour pouvoir reprendre les points $P$ et $Q$ de l'axe focal) intervient dans les débuts, et que pour la fin que voilà, j'aurais mieux fait de le laisser de côté.
    Quant à "Pas besoin d'en savoir plus, c'est une perte de temps !", je rétorque avec autant de provocation : "Pas du tout, on veut tout savoir !"
    Encore merci,
    Swingmustard
  • pappuspappus
    Bonjour à tous
    La construction des foyers d'une ellipse connaissant deux diamètres conjugués est archiarchiarchiconnue.
    On la trouve dans tous les ouvrages sérieux de Taupe d'antan et on peut même en donner des explications du niveau du Lebossé-Hémery ou bien des preuves rescassoliennes aujourd'hui!
    Mais que dire de la figure ci-dessous?
    Elle montre une conique inscrite dans un parallélogramme $ABCD$ avec les points de contact $(a,b,c,d)$, les diamètres $ac$ et $bd$ n'étant pas nécessairement conjugués.
    1° Donner une construction de ses foyers à la règle et au compas.
    2° Lieu des foyers quand les points de contact varient.
    Amicalement
    pappus
    PS
    J'ai certainement déjà dû aborder ces questions dans d'autres discussions!

  • SwingmustardSwingmustard
    Cher pappus,
    Désolé de répondre à ta question par une autre question.
    Dans ce message de septembre 2014 et qui parle d'un problème qui n'est "ni tout à fait le même, ni tout à fait un autre", tu dis
    On trace la bissectrice de la paire de demi-droites $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$.
    La perpendiculaire en $O$ à cette bissectrice coupe la tangente en $B$ à l'ellipse au point $\Omega$.
    Le cercle de centre $\Omega$ passant par $U$ et $V$ recoupe la susdite bissectrice aux foyers $F$ et $F'$.
    J'ai tenté de reproduire la construction, qui marcherait parfaitement si la fameuse "bissectrice de la paire de demi-droites $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$" (fameuse puisque c'est le grand axe) était une autre droite que, hélas, je n'arrive pas à identifier.
    (Mais là, on le voit bien sur le dessin : le grand axe n'est pas cette bissectrice.)
    Peux-tu m'éclairer ?
    Amicalement,
    Swingmustard
  • fm_31fm_31
    Modifié (May 2022)
    Une construction d'abord des axes (bissectrices de l'angle POQ)  puis des foyers 


      
  • SwingmustardSwingmustard
    Bonjour fm_31,
    Tu construis donc un cercle dont tu prends le rayon sur une diagonale du parallélogramme de pappus, et le centre sur l'autre diagonale ?
    (Ça me dépasse.)
    Ses intersections $P$ et $Q$ te permettent de tracer les axes comme bissectrices.
    J'adore ta construction du foyer comme projeté orthogonal de l'intersection tangente au petit sommet / cercle principal.
    Amicalement,
    Swingmustard
  • SwingmustardSwingmustard
    Modifié (May 2022)
    Bonsoir,
    Un peu frustré quant au lien perspecteur / foyers, je me suis aventuré à lire les discussions Points critiques , Construction des foyers de 2012.
    Tout ce que j'arrive à reproduire : les points $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ définis pour former des quadrangles harmoniques $B'C'A\alpha$ etc...
    Puisqu'il s'agit de géométrie circulaire, je commence à comprendre que, transformées en cercles, les droites se rejoignent en un "point à l'infini" $J$. Celui-ci a le bon goût d'être cocyclique avec $\alpha,\beta,\gamma$.
     
    Il est question d'un deuxième perspecteur $P'$, qui met $ABC$ et $\alpha\beta\gamma$ en perspective.
    Pour le coup, on retrouve des droites ? En même temps, il est cocyclique avec les quatre points mentionnés juste avant.
    Largué je suis complètement, et bien loin des foyers...
    Amicalement,
    Swingmustard
  • pappuspappus
    Modifié (May 2022)
    Mon cher Swingmustard
    Largué tu es?
    Pas étonnant, il s'agit de la théorie des $TGV$ ou $FLTI$ qui n'est connue que de quelques spécialistes!
    Amicalement
    pappus
  • SwingmustardSwingmustard
    Modifié (May 2022)
    Bonsoir,
    On dispose d'une ellipse inscrite, de ses points de contact $A', B', C'$, du grand axe, du centre, et même de $\alpha$, conjugué harmonique de $A$ par rapport à $B'$ et $C'$. On cherche à localiser les foyers.
    J'ignore pourquoi, mais ceux-ci sont cocycliques avec $A$ et $\alpha$. Magie de la géométrie circulaire, sans doute !

    Dans le cadre des données très nombreuses qui viennent d'être choisies, il ne reste qu'à croiser le petit axe jaune avec la médiatrice verte pour trouver le centre d'un arc de cercle, à qui on fait couper le grand axe.
    Parmi les nombreux points obscurs : cette dernière cocyclicité, et l'abandon du perspecteur.
    Amicalement,
    Swingmustard
    EDIT Autre chose qui m'échappe : $(A,\alpha,F,F')$ est harmonique. Donc ça marcherait aussi avec les bissectrices de gai requin pour l'angle $\widehat{AO\alpha}$ qui révéleraient les deux axes si on n'avait eu que le centre, et aucun axe !

  • pappuspappus
    Modifié (May 2022)
    Oui SWingmustard
    C'est la magie de la défunte géométrie circulaire.
    On construit les foyers comme points fixes d'une certaine application circulaire via le théorème de Siebeck
    Partant du perspecteur $P$, on construit le centre $O$ de la conique inscrite quand celui-ci a le bon gout d'exister.
    Le cas de la parabole inscrite se traite donc à part.
    On est donc ramené à la construction de Poulbot de deux points isogonaux dont on connait le milieu $O$.
    Mais je connaissais mon cours de géométrie circulaire et j'ai construit les foyers en utilisant le théorème de Siebeck et j'ai pu ainsi comparer cette construction circulaire avec celle de Poulbot.
    Et c'est pourquoi je me suis intéressé dans un fil voisin:
     à la construction de ces points fixes.
    Amicalement
    pappus
  • SwingmustardSwingmustard
    Modifié (May 2022)
    Cher pappus,
    1) J'ai utilisé l'astuce typographique suivante.
    Après avoir copié-collé https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2358509#Comment_2358509 dans la fenêtre URL du lien, je regarde ce que ça fait quand on bascule en code html, en cliquant sur le dernier outil de la barre.
    Je repère l'endroit où il y a
     ">
    et celui où il y a
     </a>
    Je remplace tout ce qu'il y a entre les deux par ce que je veux qui apparaisse. Par exemple : "les bissectrices de gai requin".

    Mais bon, c'est un peu stupide, puisque du coup tu n'as peut-être pas vu je citais déjà le même fil voisin, pour lequel je tenais à te remercier puisqu'il commence à bien nous éclairer !
    2) Puisque je suis dans les foyers, je prends deux conjugués isogonaux emblématiques que sont l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit, et j'étudie l'ellipse inscrite dont ils sont les foyers. Humble membre de la République analphabète, je peine évidemment à trouver un point de contact, nécessaire pour que geogebra finisse le travail, mais j'espère vite trouver, ça ne relève sûrement pas de la géométrie circulaire. Je me pourlèche les babines à la perspective d'un nouveau perspecteur dans la collection.
    Amicalement,
    Swingmustard
  • pappuspappus
    Modifié (May 2022)
    Mon cher Swingmustard
    Si tu veux avoir le point de contact d’une tangente $T$ avec une conique de foyers $F$ et $F’$, fais intervenir les symétriques $P$ et $P’$ de ces foyers par rapport à $T$ et en principe les droites $FP’$ et $F’P$ devraient se couper au point de contact désiré. 
    Et tu remarqueras que cela fait trois droites concourantes pour la plus grande épectase de nos thaléso-pythagoriciens!
    Amicalement 
    pappus
  • SwingmustardSwingmustard
    Pour ma question (2), j'ai demandé à geogebra d'identifier le perspecteur de cette ellipse inscrite dans un cas particulier "qui vient bien" : j'ai pris $A(0,0), B(3,9), C(12,0)$. Identification possible grâce à la précieuse commande signalée par @ludwig Position(M, Séquence(TriangleCentre(A, B, C, n), n, 1, 1000)). La réponse ayant été 264, on se rend chez Kimberling pour demander cékiça X(264).
    Eh bien c'est le conjugué isotomique du centre du cercle circonscrit.
    Voilà une source de réflexions qui me fera sûrement au moins la semaine !
    Si on se pose la même question avec la paire X(2), X(6), autrement dit la paire tout aussi isogonale Centre de gravité, Point de Lemoine...
    On trouve évidemment une ellipse, mais il n'y a pas de numéro à l'abonné au perspecteur que vous avez demandé.
    Tant que j'y étais, j'ai bien compris que la définition du point de Gergonne en fait le perspecteur du cercle inscrit.
    J'essaie d'arrêter de me gargariser avec le mot perspecteur ? OK.
    Amicalement,
    Swingmustard
  • SwingmustardSwingmustard
    Modifié (May 2022)
    Merci pappus,
    J'évite de commenter mon manque d'imagination, vu que la symétrie des rayons d'ellipse par rapport à la normale ... donc à la tangente, damned, c'est la base de la base.
    pappus a dit :
    La construction des foyers d'une ellipse connaissant deux diamètres conjugués est archiarchiarchiconnue.
    C'est donc niveau III dans la hiérarchiarchiarchie de tes connaissances ?
    Contrairement à gai requin qui trouve tout seul, je rame.
    J'ai tenté de voir si la sauce circulaire m'aidait, le résultat est plutôt mayday !

    Sérieusement, c'est cela ma question : je continue à chercher avec $\alpha$ and Co, ou j'essaie plus affine, euclidien ?
    Peut-être une bonne nouvelle : le perspecteur semble se réveiller, au milieu du demi-grand axe segment issu de O (?)
    Amicalement,
    Swingmustard
  • SwingmustardSwingmustard
    Bonsoir,
    Toujours sur Construire les foyers connaissant deux diamètres conjugués, en particulier leurs quatre extrémités $M, N, P, Q$.
    Il se pourrait bien qu'on se dépêche de tracer le parallélogramme dont les côtés sont les tangentes en $M, N, P, Q$.
    Au moins un progrès : j'ai réalisé qu'on dispose alors immédiatement d'une deuxième paire de diamètres conjugués : les diagonales.
    1) De là, on pourrait utiliser la méthode vue précédemment avec une involution de Frégier pour trouver les axes, mais on se demande si le parallélogramme ne nous donne pas accès à une méthode plus simple.
    2) Une fois qu'on a les axes, on pourrait se débrouiller avec le cercle principal comme @fm_31. Là aussi : chercher plus simple ?

    3) Rien à voir. Pour la construction de l'ellipse, on peut tracer un parallélogramme $ABCD$ puis, avec la commande geogebra "cinq points" : quatre milieux de côtés $M, N, P, Q$ et $D'$, image de $D$ par l'homothétie de centre $0$ et de rapport $\dfrac{\sqrt2}2$. 
    Amicalement,
    Swingmustard
  • pappuspappus
    Ma chère Clairon
    La construction des tangentes issues d'un point à une conique est faite dans le Lebossé-Hémery que tu devrais trouver sur la toile gratis pro deo en cherchant un peu.
    Amicalement
    pappus
  • pappuspappus
    Bonjour à tous
    Pour en revenir à la construction des foyers de la conique inscrite de perspecteur $P$, on peut les obtenir en appliquant le lemme de géométrie circulaire dont nous avons discuté là: https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2330474/lemme-de-geometrie-circulaire#latest
    Amicalement
    pappus
  • pappuspappus
    Bonjour à tous
    Il suffit d'appliquer le théorème de Siebeck exposé dans le livre de Roland Deaux, Introduction to the geometry of complex numbers, publié chez Dover, article 98, page 154.
    Le théorème de Siebeck lui-même, date de 1859 c'est dire qu'il a eu largement le temps de disparaitre de notre enseignement s'il y a jamais été exposé, un enseignement qui aujourd'hui, on le sait se limite à ânonner les axiomes de Thalès et de Pythagore!
    Le livre de Deaux était écrit primitivement en français et la version du Dover en est une traduction anglaise.
    Je vais donc repasser de l'anglais au français mais à ma façon et je ne garantis pas que ma traduction soit tout à fait conforme au texte originel de Deaux.
    Ce théorème concerne les triangles harpons d'une conique.
    Ma figure ci-dessous montre d'ailleurs une conique euclidienne $\Gamma$ et un de ses triangles harpons $ABC$.
    Une tangente variable $T$ à $\Gamma$ coupe la tangente $AB$ en $M$ et la tangente $AC$ en $M'$.
    On sait que la correspondance entre les points $M$ et $M'$ sur les droites $AB$ et $AC$ est homographique.
    Le théorème de Siebeck dit ceci.
    Il existe une unique transformation circulaire directe $f$ du plan circulaire telle que pour tout $M\in AB$, $f(M)=M'$ et dont les points fixes sont les foyers de la conique $\Gamma$.
    On va appliquer ce théorème à une conique inscrite et aux trois triangles harpons générés par les trois points de contact.
    On appliquera ensuite le lemme de géométrie circulaire dont on a discuté récemment.
    Amicalement
    pappus


  • pappuspappus
    Modifié (June 2022)
    Bonsoir à tous
    Allons y gaiment puisque de toutes façons il n'y aura que moi à le faire.
    Sur la figure ci-dessous, je m'intéresse au triangle harpon $AB'C'$ et j'appelle $f_A$ la transformation circulaire de Siebeck telle que $f_A(M)=M'$.
    Quand le point $M$ vient en $C'$, le point $M'$ vient en $A$, donc $f_A(C')=A$.
    Le même raisonnement montre que $f_A(A)=B'$.
    On considère maintenant le quadrangle harmonique $(A,\alpha,B',C')=-1$
    D'après mon lemme, on a aussi un quadrangle harmonique $(A,\alpha,F,F')=-1$
    Il n'y a plus qu'à rebeloter avec les deux autres triangles harpons.
    On définit les quadrangles harmoniques $(B,\beta,C',A')=-1$ et $(C,\gamma,A',B'=-1$
    On a aussi $(B,\beta,F,F')=-1$ et $(C,\gamma,F,F'=-1$
    Ainsi les paires $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$ sont des paires de points homologues dans l'involution de points fixes $F$ et $F'$.
    Ces points fixes $F$ et $F'$ se construisent par exemple comme les points fixes de l'involution ayant les paires $(B,\beta)$ et $(C,\gamma)$ comme paires de points homologues.
    Il me semble que Gai Requin a donné cette construction précédemment
    Amicalement
    pappus

  • pappuspappus
    Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
    Curieusement la configuration que vous avez sous les yeux appartient à la théorie des $FLTI$ (pour Pierre) ou des $TGV$ (pour moi).
    Il existe une $FLTI$ sur les cotés du triangle $ABC$ dont les centres de similitude sont justement les points $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
    Plus précisément le point $\alpha$ est le centre d'une similitude directe envoyant la droite $AC$ sur la droite $AB$, le point $\beta$ est le centre d'une similitude directe envoyant la droite $AB$ sur la droite $BC$ et $\gamma$ est le centre d'une similitude directe envoyant la droite $BC$ sur la droite $AB$ et on a:
    $$\gamma\circ\beta\circ\alpha=id$$
    Quels sont l'équicentre et le centre aréolaire (centre des lenteurs pour Pierre) de cette $FLTI$.
    Montrer que les droites $A\alpha$, $B\beta$, $C\gamma$ sont concourantes en un point $T$ situé sur le cercle de similitude $(\alpha\beta\gamma)$.
    Quel est le point isogonal de $T$?
    Amicalement
    pappus


  • gai requingai requin
    Bonjour pappus,
    Finalement, pour construire les foyers $F,F'$ de $\Gamma$, il suffit de se donner un triangle $ABC$ circonscrit à $\Gamma$.
    En effet, ces foyers sont alors les points fixes de l'homographie $f_A:BC'A\mapsto CAB'$ avec tes notations.
  • pappuspappus
    Bonjour Gai Requin
    Bien sûr, il y a de multiples façons de construire ces foyers, l'idée étant de se donner suffisamment de tangentes pour que la conique soit déterminée.
    En particulier, un triangle harpon suffit pourvu qu'on connaisse le centre de la conique, pourquoi?
    Quant à ma configuration des trois triangles harpons, j'y tenais particulièrement parce que je savais qu'elle générait une $FLTI$ (fort connue) sur les côtés du triangle $ABC$.
    Amicalement
    pappus
  • pappuspappus
    Bonjour à tous
    Ma construction est très utile dans la situation suivante
    On considère les coniques ayant même triangle harpon $ABC$
    Le lieu de leurs centres est la médiane issue de $A$.
    Je choisis donc un point $O$ sur cette médiane et je trace la conique de centre $O$ et de triangle harpon $ABC$
    Faut déjà en savoir un bout sur la théorie des défuntes coniques pour le faire mais faisons comme si!
    Je complète le quadrangle harmonique $A\alpha BC$ puis je trace le quadrangle harmonique $A\alpha FF'$ tel que $O$ soit le milieu de $FF'$
    Les points $F$ et $F'$ sont les foyers de notre conique de centre $O$.
    Je n'ai plus qu'à demander au logiciel le lieu des deux foyers quand le point $O$ décrit sa médiane et j'obtiens en rouge la belle strophoïde archiconnue de nos anciens.
    Amicalement
    pappus

  • pappuspappus
    Bonjour à tous
    Ma construction est très utile dans la situation suivante
    On considère les coniques ayant même triangle harpon $ABC$
    Le lieu de leurs centres est la médiane issue de $A$.
    Je choisis donc un point $O$ sur cette médiane et je trace la conique de centre $O$ et de triangle harpon $ABC$
    Faut déjà en savoir un bout sur la théorie des défuntes coniques pour le faire mais faisons comme si!
    Je complète le quadrangle harmonique $A\alpha BC$ puis je trace le quadrangle harmonique $A\alpha FF'$ tel que $O$ soit le milieu de $FF'$
    Les points $F$ et $F'$ sont les foyers de notre conique de centre $O$.
    Je n'ai plus qu'à demander au logiciel le lieu des deux foyers quand le point $O$ décrit sa médiane et j'obtiens en rouge la belle strophoïde archiconnue de nos anciens.
    Amicalement
    pappus

  • pappuspappus
    Modifié (June 2022)
    Bonjour à tous
    La figure ci-dessous montre un quadrilatère complet c'est-à-dire un triangle $ABC$ et une transversale $A'B'C'$
    Il définit un faisceau tangentiel de coniques tangentes aux quatre côtés de ce quadrilatère complet.
    Le lieu de leurs centres est la droite de Newton $\delta$ que j'ai tracée en bleu.
    J'ai choisi un point $O$ sur $\delta$.
    J'ai tracé la conique du faisceau de centre $O$ avec ses quatre points de contact grâce à une macro de mon cru!
    Faut le faire!
    Essayez un peu pour voir!
    Je dispose donc du triangle harpon $AB''C''$.
    Et vous connaissez maintenant la musique!
    Je complète le quadrangle harmonique $A\alpha B''C''$.
    Puis je construis le quadrangle harmonique $A\alpha FF'$ tel que $O$ soit le milieu de $FF'$.
    Les points $F$ et $F'$ sont les foyers de la conique du faisceau de centre $O$.
    Et on continue sur la lancée.
    Je demande au logiciel de tracer le lieu des foyers quand $O$ décrit la droite de Newton.
    Il me trace la belle courbe rouge, elle aussi archiconnue de nos anciens sous le nom de focale (cubique circulaire).
    Amicalement
    pappus

  • pappuspappus
    Modifié (June 2022)
    Bonjour à tous
    Généralement on présentait la construction des foyers d'une ellipse connaissant deux diamètres conjugués c'est-à-dire d'une ellipse inscrite dans un parallélogramme aux milieux de ses côtés.
    Je parle à l'imparfait puisque cette construction chère à nos aïeux, pour figurer je crois dans le Lebossé-Hémery, a disparu de notre enseignement depuis longtemps!
    Mais comment construire les foyers d'une ellipse inscrite dans un parallélogramme de façon quelconque et première question importante avant toute autre, comment sont répartis les points de contact $a$, $b$, $c$, $d$ sur les côtés du parallélogramme $ABCD$?
    Amicalement
    pappus
    PS
    Et effectivement j'ai retrouvé cette construction des foyers d'une ellipse connaissant deux diamètres conjugués dans le Lebossé-Hémery.
    C'est l'article 460, page 299, où pour ce faire Lebossé-Hémery utilise la génération de l'ellipse par la bande de papier!


  • jelobreuiljelobreuil
    Modifié (June 2022)
    Bonsoir Pappus,
    Pour répondre à ta question, je dirais que les points de contact de l'ellipse et des côtés du parallélogramme se répartissent de façon symétrique par rapport au centre du parallélogramme, id est le point de concours de ses diagonales.
    Et j'espère ne pas me tromper, ni répondre à côté !
    Bien amicalement, JLB
  • pappuspappus
    Mon cher JLB
    C’est insuffisant!
    Par exemple sur ma figure, tu peux te donner arbitrairement le point $a$ sur le segment $AB$, alors on a plus le choix non seulement pour le point $c$ évidemment symétrique de $a$ par rapport au centre du parallélogramme $ABCD$ mais aussi pour les points $b$ et $d$.
    Amicalement
    pappus

  • gai requingai requin
    Modifié (June 2022)
    pappus est très fort pour nous dégoter des diamètres conjugués en toutes circonstances !

  • pappuspappus
    Mon cher Gai Requin
    Tu as découvert la disposition des points de contact.
    C'est bien!
    J'espère que JLB comprendra!
    Mais n'as-tu pas vu que ma construction n'exige pas celle de diamètres conjugués et qu'elle reste valable même si le point $a$ est à l'extérieur du segment $AB$ c'est-à-dire si la conique inscrite est une hyperbole?
    Autrement dit nul besoin de construire des diamètres conjugués et de se ramener ainsi à la construction du Lebossé-Hémery!
    La construction des foyers se fait directement et c'est la :même que ce soit dans le cas de l'ellipse ou celui de l'hyperbole!!!!!
    Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
    Amicalement
    pappus

  • gai requingai requin
    Le théorème de Siebeck ?
  • pappuspappus
    Mon cher Gai Requin
    Non seulement je ne fais que parler de lui depuis un moment mais en plus j'ai concocté un lemme de géométrie circulaire (voir la discussion récente portant ce nom) que je ne fais qu'appliquer!
    Amicalement
    pappus
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