Catégories duales...

Thierry Poma · June 2022

Bonjour

Je viens de reprendre plus sérieusement l'étude des catégories. Lorsque l'on lit plus sérieusement un bouquin sur les catégories, il y a plusieurs questions qui émergent dont celles-ci concernant les catégories opposées ou duales :

en examinant ceci, parmi tant d'autres interventions sur StackExchange, la catégorie opposée $\mathrm{Ens}^{\circ}$ à la catégorie des ensembles $\mathrm{Ens}$, n'est pas aussi simple qu'on pourrait a priori le penser ; il ne s'agit pas seulement d'inverser le sens des flèches, ce qui me semble incongru. Peut-on m'expliquer le première intervention dans le lien ?
étant donnée une catégorie $\mathscr{C}$, comment s'assurer que sa catégorie opposée existe bel et bien ? Comment la définir, voire la décrire avec rigueur ?
est-il vraiment si économique de faire appel aux catégories opposées ?
étant donnés une catégorie $\mathscr{C}$ et un $\mathscr{C}$-morphisme $f:a\rightarrow{}b$, alors ne serait-il pas plus judicieux de lui associer son dual $f^{\circ}:b^{\circ}\rightarrow{}a^{\circ}$, où $a^{\circ}$ et $b^{\circ}$ sont les $\mathscr{C}^{\circ}$-objets duaux associés respectivement aux $\mathscr{C}$-objets $a$ et $b$ ? Cela me semblerait plus exact, surtout en me référant à la discussion ci-dessus sur StackExchange.

Le concept de catégorie duale est loin d'être trivial.

Je vous remercie pour vos réponses. J'espère que mes questions ne sont pas stupides.

Bien cordialement

Thierry

Manda · June 2022

Pour répondre à ta deuxième question :

Définir la catégorie opposée n'a rien de sorcier si on sait donner une définition convenable des catégories. Par exemple, une manière de définir une catégorie est en donnant un 6-uplet $C=(O,M,s,t,i,c)$, où $O$ est l'ensemble des objets, $M$ l'ensemble des flèches, $s,t$ les applications $M\to O$ qui à une flèche associe respectivement sa source et sa cible, $i$ l'application $O\to M$ qui à un objet associe sa flèche identité, et enfin l'application $c$ de composition qui va de $\{(f,g)\in M\times M\mid t(f)=s(g)\}$ vers $M$, et le tout satisfaisant les bons axiomes qui vont avec (associativité et neutralité des flèches identités entre autre). Avec cette définition, il est très facile de définir la catégorie opposée, il suffit de considérer le 6-uplet $C^{op}=(O,M,t,s,i,c')$ (on échange simplement le rôle de $s$ et $t$, et où $c'$ est défini par $c'(f,g)=c(g,f)$) et de vérifier que les axiomes des catégories sont bien satisfaits.

Thierry Poma · June 2022

@Manda : je te remercie, mais ton intervention ne m'éclaire pas. Voici un court texte extrait de An Introduction to Homological Algebra de Joseph J. Rotman, page 22 :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/r0/1wjn1g62da3k.png

Il est effectivement difficile de se représenter la catégorie opposée d'une catégorie donnée, et plus simplement celle de la catégorie des ensembles où ledit auteur est très explicite.

Foys · June 2022

C'est un jeu d'écriture et rien d'autre: si $C:= (Obj, Hom, \circ, id\in \prod_{u\in obj} Hom(u,u))$ est une catégorie, $C^o:=(Obj, Hom', \circ', id\in \prod_{u\in obj} Hom'(u,u)) $ en est encore une avec $Hom'(a,b)=Hom(b,a)$ pour tous $a,b\in C$ et $f \circ ' g:= g \circ f$.

Thierry Poma · June 2022

@Foys : Peut-être voulais-tu écrire $f'\circ'{}g'=(g\circ{}f)'$. Sinon, cela ne répond pas à mes interrogations face à ce qu'affirme Rotman, ou encore à ce que l'on trouve consigné dans ce lien, déjà mentionné plus haut. Je te remercie pour ton intervention. J'ai bien peur de ne pas me faire comprendre.

Manda · June 2022

Tout est dit au début du lien :

"The opposite category is the opposite category. There is no need to think about morphisms as actual functions with the specified domain and codomain; and indeed, you can't."

A nuancer car en effet par exemple on peut exhiber des isomorphismes de ${\rm\bf Set}^{\rm op}$ vers des catégories plus 'concrètes' (dans lesquelles les flèches sont des applications, ici en l'occurence des morphismes entre ensembles ordonnés).

Foys · June 2022

Non @Thierry Poma l'écriture est bien celle là. Soient $g\in Hom'(a,b)$ et $f\in Hom'(b,c)$. Alors en fait, $g\in Hom(b,a)$ et $f \in Hom(c,b)$. Donc $g \circ f \in Hom (c,a)=Hom' (a,c)$. Bref, on peut poser $f \circ' g:= g \circ f$ pour avoir un morphisme dans la catégorie opposée, de $a$ vers $c$.

Les morphismes de catégories ne sont pas des fonctions, mais des objets arbitraires.

Thierry Poma · June 2022

@Foys : $g \circ f \in Hom (x,a)$ ; vraiment ? C'est quoi cet objet $x$ ?

Foys · June 2022

J'aurais dû quantifier mes lettres; $a,b,c$ appartiennent à $Obj$. La collection des objets de $C^o$ est la même que la collection des objets de $C$.

Foys · June 2022

Oh je viens de le voir!!! J'édite on message; j'ai voulu dire "$c$" pardon.

Thierry Poma · June 2022

Je précise que c'est cette intervention qui m'interpelle :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/nk/0dsc3rqja8h9.png

Manda · June 2022

Qu'est ce qui t'interpelle plus précisément ?

Foys · June 2022

Soit $B$ la sous-catégorie de $Ens$ dont les objets sont les $\mathcal P(X)$ où $X$ est un ensemble, et les morphismes entre $\mathcal P(X)$ et $\mathcal P(Y)$ sont les "morphismes d'algèbres de Boole complètes", c'est à dire les fonctions telles que pour tout $P\in \mathcal P(X)$, $\theta (X\backslash P) =Y \backslash \theta (P)$ et pour tout ensemble $\mathcal Q$ de parties de $X$, $\theta (\bigcup \mathcal Q) = \bigcup \{\theta (Z) \mid Z \in \mathcal Q\}$ (pour tout $t$, la notation $\bigcup t$ désigne l'ensemble de tous les $r$ tels qu'il existe $s\in t$ tel que $r$ in $s$: c'est "l'union des éléments de $t$").

Il existe un foncteur contravariant de la catégorie des ensembles dans $B$: il est donné par $M \mapsto \mathcal P(M)$ pour les objets, et si $V,W$ sont des ensembles et $f:V\to W$ est une fonction, $\mathcal P(f)$ est l'application qui à $R\in \mathcal P(W)$ fait correspondre $f^{-1}(R)$. Il est mécanique de vérifier que $\mathcal P(f)$ est un morphisme d'algèbres de Boole complètes. Ce qui est intéressant est que ce foncteur est pleinement fidèle: quels que soient les ensembles $X,Y$ et quelque soit le morphisme d'algèbres de Boole $\alpha: \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$, il existe une unique fonction $f:X\to Y$ telle que $\theta (f) = \alpha$. Ce fait n'est pas dur à vérifier (du fait des propriétés de morphisme d'algèbre de Boole complète, la famille $\alpha (\{p\})_{p \in Y}$ est une partition de $X$ et pour tout $t\in X$ on pose $f(t):=q$ où $q$ est l'unique élément de $Y$ tel que $t\in \alpha (\{q\})$).

Grâce à ça, on voit que $Ens^o$ s'identifie à cette catégorie $\left (\mathcal P(X)\right )_{X \in Ens}$ avec les morphismes d'algèbres de Boole complètes.

GaBuZoMeu · June 2022

L'intervention explique que la duale de la catégorie des ensembles est équivalente à la catégorie des algèbres de Boole complètes atomiques.

Thierry Poma · June 2022

@Manda : si tu ne le vois pas, c'est que le problème vient de chez moi. Je dois être franchement con.

Thierry Poma · June 2022

Là, on commence à avoir de belles interventions, à savoir celle de Foys et celle de GaBuZoMeu. Je vais étudier le tout. Merci beaucoup. Je vais revenir...

Maxtimax · June 2022

Thierry : Comme l'a dit tout le monde jusqu'ici, on peut toujours toujours définir la catégorie opposée d'une catégorie, et comme l'a justement dit Foys, c'est un jeu d'écriture. Il s'avère que ce jeu d'écriture porte beaucoup de fruits, mais il n'y a rien derrière.

Comme l'a ensuite dit Manda, le point souvent intéressant est qu'on peut souvent/parfois décrire les opposées de catégories qu'on aime bien ($Set, Vect, ...$) en termes de catégories qu'on aime bien. C'est à nuancer parce qu'il y a des théorèmes qui prouvent que si tu es trop strict sur le sens de "qu'on aime bien", tu n'y arriveras pas, mais si tu es assez flexible, ça va. Ici par exemple, $Set^{op}$ peut être décrite, à équivalence près, comme une catégorie d'algèbres booléennes.

Je te donne un autre exemple: les espaces vectoriels de dimensions finie sur un corps $k$, $Vect_k^{fd}$. Bah il s'avère que le foncteur "dual" est une équivalence $(Vect_k^{fd})^{op}\simeq Vect_k^{fd}$ !
Encore un autre exemple : les espaces topologiques stonéens et les algèbres de Boole.
Cela dit, la définition de $C^{op}$ est une trivialité, ce qui est moins trivial c'est d'en donner une description concrète, plus amenable à une compréhension intuitive que "renverser les flèches" (psychologiquement, on aime bien les fonctions, donc si tu peux décrire tes "flèches formellement renversées" en termes de fonctions, tu es content !)

[Utilisateur supprimé] · June 2022

Manda a dit
Définir la catégorie opposée n'a rien de sorcier si on sait donner une définition convenable des catégories. Par exemple, une manière de définir une catégorie est en donnant un 6-uplet $C=(O,M,s,t,i,c)$, où $O$ est l'ensemble des objets, $M$ l'ensemble des flèches, $s,t$ les applications $M\to O$ qui à une flèche associe respectivement sa source et sa cible, $i$ l'application $O\to M$ qui à un objet associe sa flèche identité, et enfin l'application $c$ de composition qui va de $\{(f,g)\in M\times M\mid t(f)=s(g)\}$ vers $M$, et le tout satisfaisant les bons axiomes qui vont avec (associativité et neutralité des flèches identités entre autre). Avec cette définition, il est très facile de définir la catégorie opposée, il suffit de considérer le 6-uplet $C^{op}=(O,M,t,s,i,c')$ (on échange simplement le rôle de $s$ et $t$, et où $c'$ est défini par $c'(f,g)=c(g,f)$) et de vérifier que les axiomes des catégories sont bien satisfaits.

J'aime bien ta présentation des catégories, je fais la même à ceci près que j'introduis O et M comme des classes et j'introduis t,s,i et c comme des prédicats fonctionnels.

Catégories duales...

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 28