Loi uniforme et variables aléatoires
Bonsoir,
J'aimerais savoir la difficulté de cet exercice, s'il est dur je passe à autre chose pour ne pas encore faire un sujet à rallonge.
J'aimerais savoir la difficulté de cet exercice, s'il est dur je passe à autre chose pour ne pas encore faire un sujet à rallonge.
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Réponses
D'accord merci, je laisse tomber alors. De toute façon j'aurais juste écrit que $\forall i \in [|1,n|] \ X_i(\Omega) =[|1,n|]$ et $P(X_i = i)=1/n$ et après blocage total.
Par curiosité, tu sais résoudre l'exercice toi @lourrran ?
Mais dès qu'on a allégé les notations, dès qu'on reformule ça avec des mots simples, tu trouveras les réponses à cette questions dans un cours de lycée. Donc un cours que tu refuses absolument de travailler.
Donc tu ne peux pas trouver les réponses.
Dans un cours du supérieur, ces sujets ne sont pas détaillés, parce que les étudiants sont sensés avoir appris le cours du lycée.
Pour la première question, on peut modéliser cela par $n$ épreuves de Pile-Face(une indication)
Pour une fois j'essaie de traiter la question $1$ avec les indications qui m'ont été données. Ma solution est-elle correcte ?
1) On remarque que $Y_i( \Omega)= \{ 1, \cdots, n \}$
La variable aléatoire $Y_i$ suit une loi binomiale. En effet, pour $j=1$, on cherche si $X_1$ vaut $i$ ou pas. On appelle succès le fait d'avoir $X_1=i$ et échec le fait d'avoir $X_1 \ne i$. La probabilité d'obtenir $i$ vaut $p=1/n$.
On fait de même pour $X_2, \cdots , X_n$. Il y a $n$ épreuves.
Soit $k \in [|1,n|]$. On a alors $\boxed{\forall i \in [|1,n|] \ P( Y_i = k) = \binom{n}{k} \dfrac{1}{n^k} \left( 1-\dfrac{1}{n} \right)^{n-k}}$
2) On doit justifie que $P(Y_i =k) \ne 0$, ce qui est vrai d'après la question $1$.
On sait que $\boxed{P( Y_j = \ell \ | \ Y_i =k ) = \dfrac{ P ( \{ Y_j = \ell \} \cap \{ Y_i = k \} ) }{ P(Y_i =k) } }$. Il reste à calculer $P ( \{ Y_j = \ell \} \cap \{ Y_i = k \} )$.
On s'intéresse à l'évènement $\{ Y_j = \ell \} \cap \{ Y_i = k \}$. Je n'ai pas utilisé le fait que les $X_i$ étaient mutuellement indépendantes. Je bloque un peu ici. Je ne vois pas comment utiliser la mutuelle indépendance.
2) On doit justifie que $P(Y_i =k) \ne 0$, ce qui est vrai d'après la question $1$.
On sait que $\boxed{P( Y_j = \ell \ | \ Y_i =k ) = \dfrac{ P ( \{ Y_j = \ell \} \cap \{ Y_i = k \} ) }{ P(Y_i =k) } }$. Il reste à calculer $P ( \{ Y_j = \ell \} \cap \{ Y_i = k \} )$.
On s'intéresse à l'évènement $\{ Y_j = \ell \} \cap \{ Y_i = k \}$. Je n'ai pas utilisé le fait que les $X_i$ étaient mutuellement indépendantes.
Je bloque un peu ici. Je ne vois pas comment utiliser la mutuelle indépendance.
Ici, tu devais comprendre TOUT SEUL qu'il y avait une loi binomiale. Et maintenant, tu dois comprendre tout seul, en écrivant en FRANCAIS avec des MOTS la proba $\mathbb{P}(\{Y_j=l \}\cap \{Y_i=k\})$. Réponse à cette consigne ci-dessous et je suis encore trop généreux je pense.
On te demande de choisir $l$ variables X parmi $n$ valant $j$ puis $k$ parmi les restants valant $i$ (vérifier que cela revient au même d'en choisir d'abord $k$ puis $l$ parmi les restants)
@Alexique
Je n'ai pas compris ton indication. Je ne comprends pas pourquoi tu parles de l'ordre du choix.
Je bloque toujours sur $P ( \{ Y_j = l \} \cap \{ Y_i = k \})$.
Je savais traduire l'évènement mais je ne sais pas calculer la probabilité ni comment utiliser l'indépendance mutuelle des $X_i$.
On cherche $P(Y_i = \ell \ | \ Y_i = k )$. On doit avoir $\ell$ fois $X_j =i$ pour les $n-k$ valeurs restantes de $j \in [|1,n|]$ qui n'ont pas été prises. C'est une loi binomiale.
Donc $\boxed{P(Y_i = \ell \ | \ Y_i = k ) = \displaystyle\binom{n-k}{\ell} \dfrac{1}{n^{\ell}} \left(1-\dfrac{1}{n} \right) ^{n-k-\ell} }$
$A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants car $P(A\cap B ) =P(B\cap C ) =P(A\cap C ) =1/4=P(A)P(B)=P(B)P(C)=P(A)P(C)$
Mais $A$, $B$ et $C$ ne sont pas mutuellement indépendants car $P(A \cap B \cap C)=0 \neq P(A)P(B)P(C)$
Le dé n'a pas de mémoire, chaque lancer est indépendant des autres. Et le dé se moque de savoir la différence entre 'mutuellement indépendantes' ou 'indépendantes 2 à 2'.
99.999% des exercices sont de ce type.
Sur les exercices où on spécifie clairement 'indépendantes 2 à 2' et où on veut t'emmener sur ce thème, alors ok. Mais c'est très particulier.
Dans la loi binomiale, on parle de variable aléatoires indépendantes. Et conformément à ce que je disais à l'instant, comme on ne précise pas '2 à 2', il faut interpréter 'mutuellement indépendantes'.
Toujours l'histoire du dé qui n'a pas de mémoire.
Si $Y_i =k$ alors on a $k$ variables aléatoires $X_j$ qui sont égales à $i$. Pour avoir $Y_j =l$ on doit prendre $l$ variables aléatoires $X_p$ qui sont égale à $j$ mais elles doivent êtres différentes de $i$, il y a donc $n-1$ choix.
Donc $p=\dfrac{1}{n-1}$
C'est le fondement du raisonnement... ça doit arriver au tout début. Pas quand l'exercice est presque fini.
Et c'est systématique, c'est toujours quand l'exercice est quasiment fini que tu écris les fondamentaux.
Et accessoirement, au lieu de la variable $j$, une autre variable $m$ aurait été mieux, parce qu'il y a déjà cette lettre $j$ dans l'énoncé. Mais c'est secondaire.