Un point peu connu de Léon Ripert
Bonjour,
un remarquable résultat de Léon Ripert.
1. ABC un triangle
2. M une ménélienne de ABC
3. I, J, K les points d'intersection de M resp. (BC), (CA), (AB)
4. Ra le point d'intersection des médiatrices de [BC] et [JK].
Question : Ra est sur le cercle de Miquel du delta (ABC, M) i.e. sur 4.
Merci pour votre aide pour la figure.Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
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Bonsoir Jean-Louis,Le point M est-il le milieu de l'arc AC, comme il semble bien ? Si oui, d'où cela vient-il,? Est-ce une hypothèse de départ (qui serait omise) ou une conséquence déductible des hypothèses posées ?Bien cordialement, JLB
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Bonjour,
Non, Jelobreuil, ce n'est pas le cas.
A part les médiatrices et le point $Ra$, le reste de la figure est invariant par permutation circulaire, et le point $M$ ne peut pas être le milieu des trois arcs à la fois.
Cordialement,
Rescassol
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Bonsoir,
% Jean-Louis Ayme - 22 Juin 2022 - Un point peu connu de Léon Ripert % 1. ABC un triangle % 2. M une ménélienne de ABC % 3. I, J, K les points d'intersection de M resp. (BC), (CA), (AB) % 4. Ra le point d'intersection des médiatrices de [BC] et [JK]. % Question : Ra est sur le cercle de Miquel du delta (ABC, M) i.e. sur 4. %----------------------------------------------------------------------- clc, clear all, close all syms a b c aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c; %----------------------------------------------------------------------- % La ménélienne a pour équation uB z + u zB + r = 0 % avec |u|=1 et r réel syms u syms r real uB=1/u; [I IB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-b-c,uB,u,r); % On préserve i I=Factor(I); IB=Factor(IB); % On trouve: I = u*((b+c)*u+b*c*r)/(u^2-b*c); IB=-(b+c+r*u)/(u^2-b*c); % De même: j = u*((c+a)*u+c*a*r)/(u^2-c*a); jB=-(c+a+r*u)/(u^2-c*a); k = u*((a+b)*u+a*b*r)/(u^2-a*b); kB=-(a+b+r*u)/(u^2-a*b); %----------------------------------------------------------------------- [oa oaB Ra2]=CercleTroisPoints(a,j,k,aB,jB,kB); [ob obB Rb2]=CercleTroisPoints(b,k,I,bB,kB,IB); [oc ocB Rc2]=CercleTroisPoints(c,I,j,cB,IB,jB); oa=Factor(oa); oaB=Factor(oaB); Ra2=Factor(Ra2); ob=Factor(ob); obB=Factor(obB); Rb2=Factor(Rb2); oc=Factor(oc); ocB=Factor(ocB); Rc2=Factor(Rc2); % On trouve (et permutation circulaire): oa=a*u*(u^3-s2*u-s3*r)/((u^2-a*b)*(u^2-a*c)); oaB=(-r*u^3-s1*u^2+s3)/((u^2-a*b)*(u^2-a*c)); Ra2=b*c*u^2*(u^2+r*a*u+a^2)^2/((u^2-a*b)*(u^2-a*c))^2; %----------------------------------------------------------------------- [pjk qjk rjk]=Mediatrice(j,k,jB,kB); % Médiatrice de [JK] % La médiatrice de [BC] a pour équation z - b*c*zB = 0 % Point d'intersection des deux médiatrices [ra raB]=IntersectionDeuxDroites(1,-b*c,0,pjk,qjk,rjk); ra=Factor(ra) %----------------------------------------------------------------------- % Vérification de la cocyclicité des points Oa, Ob, Oc, Ra Bi=Birapport(oa,ob,oc,ra); BiB=Birapport(oaB,obB,ocB,raB); Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour,
M est le point de Miquel....
Sincèrement
Jean-Louis
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Cette propriété est $T_{jk}\in \mathcal C$ where $\mathcal C$ is the circumcentric circle , i.e. (6) p 236 of Clawson. 1919, cela ne rajeunit personne !
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Bonjour pldx1,
nous pouvons remonter encore avec Ripert, Congrès de l'AFAS 1901 à Ajaccio...
Mais une preuve synthétique serait la bienvenie...
Sincèrement
Jean-Louis
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Bonjour pldx1,
nous pouvons remonter encore avec Ripert, Congrès de l'AFAS 1901 à Ajaccio...
Mais une preuve synthétique serait la bienvenie...
Sincèrement
Jean-Louis
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Bonjour à tous,Rescassol, Jean-Louis, merci de vos précisions, ma question venait du fait que ce point M n'avait pas été défini dans l'énoncé ... et que mon inculture géométrique m'empêchait de faire le rapprochement entre M et Miquel !Bien cordialement, JLB
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Bonjour
(Voir la figure de Jean-Louis que je salue)
On a, entre angles orientés de droites, les égalités très faciles à justifier
$\left( R_{a}O,R_{a}O_{a}\right) =\left( IC,IJ\right) =\left( MC,MJ\right) =\left( O_{c}O,O_{c}O_{a}\right) $
Bien cordialement. Poulbot -
Bonjour Poulbot,
merci pour votre élégante preuve...
Pour ma part, j'ai pu aboutir sans les angles...next on my site...
Merci encore et tout le plaisir est de vous entendre.
Jean-Louis
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Bonjour
Vous trouverez ci-joint l'exposé de Léon Ripert au Congrès 1901 de l'AFAS.
Le résultat cité par Jean-Louis est le $18$ page $114$.
Bien cordialement. Poulbot -
Bonjour,
J'ai repris et vérifié le papier de Léon Ripert. Il restait quelques typos (mais pas autant que
chez Lemoine 1900 !). L'utilisation de $\Phi$ est très habile !
Par contre, la bibliographie citée est très elliptique. Exemple: "M. J. de Vriès, (Voir le Matematiche, t. I, 1901, pp. 38 et 166)"...
@Chaurien, @Poulbot, @Jean-Louis Ayme ?
Cordialement, Pierre. -
Bonjour,
pour répondre au problème poséSincèrement
Jean-Louis
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