Définition de $k[[x^{1/n}]]$
Bonsoir à tous
$k$ est un corps et $n\ge 1$ un entier. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment construire l'anneau $k[[x^{1/n}]]$ ? Je lis un bouquin qui en parle un peu, mais l'explication ne me satisfait pas. Elle consiste simplement en un changement de notation : on considère l'extension d'anneaux $k[[t^n]]\subset k[[t]]$ et on pose $t^n=x$ et $t=x^{1/n}$.
$k$ est un corps et $n\ge 1$ un entier. Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment construire l'anneau $k[[x^{1/n}]]$ ? Je lis un bouquin qui en parle un peu, mais l'explication ne me satisfait pas. Elle consiste simplement en un changement de notation : on considère l'extension d'anneaux $k[[t^n]]\subset k[[t]]$ et on pose $t^n=x$ et $t=x^{1/n}$.
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Réponses
Note qu'on a bien $k[[t]]\cong k[[t^n]][y]/(y^n-t^n)$ en tant que $k[[t^n]]$-algèbres (preuve : tu as bien sûr un morphisme canonique de la seconde vers la première, qui envoie $y^i$ sur $t^i$, et les deux sont libres en tant que $k[[t^n]]$-modules sur les $y^i$, resp. $t^i$)
Maxtimax, ce qui ne me satisfait pas, c'est que je n'ai pas l'impression de vraiment définir $k[[x^{1/n}]]$, mais de renommer un anneau déjà connu en $k[[x^{1/n}]]$.