Suite logistique et ensemble de Mandelbrot

Faa Di Bruno · June 2022

Bonjour,

Je travaille en ce moment sur la suite logistique définie par :

$$\forall n \geq 0 : u_{n+1} = a \times u_n \times (1-u_n),$$

avec $a \in [0;4]$ et $u_0 \in [0;1]$.

J'ai entrepris ensuite de travailler dans $\mathbb C$ donc en prenant $a \in \mathbb C$ et $z_0 \in \mathbb{C}$.

J'ai désormais $\forall n \geq 0 : z_{n+1} = f(z_n,a) = az_n(1-z_n).$

J'ai représenté informatiquement l'ensemble $E = \{ a \in \mathbb C : \lim\limits_{n\mapsto +\infty} \left | f(z_n,a)\right | \neq +\infty \}$ (j'ai fixé arbitrairement $z_0 = 0.5)$.

J'ai obtenu :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/dq/12vj6ukfohpf.png

En "zoomant" sur le "point" qu'on voit tout à droite de l'ensemble précédemment obtenu, je retrouve l'ensemble de Mandelbrot.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/26/64xx8f68hmaj.png

Je voulais comprendre pourquoi. Plus précisément, je pense qu'il existe un changement de variable (sur des intervalles pour les paramètres à préciser) pour passer de l'équation de la suite logistique à l'équation "classique" $$\forall n \geq 0 : z_{n+1} = z_n^2 + c$$ avec $c \in \mathbb C$ et $z_0 = 0$.

Ce changement de variables est mentionné brièvement sur la page Wikipédia sur l'ensemble de Mandelbrot, en exhibant $c = \dfrac{a}{2}\left ( 1 - \dfrac{a}{2} \right )$ mais je n'arrive pas à retrouver ce que je souhaite.

Merci de votre aide, c'est pour préparer une vidéo sur la suite logistique, le chaos et les fractales. D'ailleurs si vous avez une bonne biblio dessus je suis intéressé.

Namiswan · June 2022

Tout polynôme de degré $2$ est conjugué à une fonction de la forme $z^2+c$ par une fonction affine:

si $P$ est de degré $2$ il a un unique point critique $\alpha$. Si $u$ est la translation envoyant $0$ sur $\alpha$ ($u(z)=z+\alpha$), alors $Q=u^{-1}Pu$ a pour unique point critique $0$, donc $Q$ est de la forme $Q(z)=Az^2+B$. En posant ensuite une bonne dilatation $v(z)=z/A$, $R=v^{-1}Qv$ est de la forme $v(z)=z^2+c$.

Après faut expliciter un peut les calculs pour voir la valeur de $c$ et de la conjugasion en fonction des coefficients initiaux

Faa Di Bruno · June 2022

Merci Namiswan !

Effectivement j'ai déjà lu qu'un tel résultat existait mais je n'ai jamais vu de preuve ou d'exemple où on l'appliquait.

Merci je vais creuser par là.

Calli · June 2022

Bonjour,
Tu peux mettre le polynôme $X(1-X)$ sous la forme canonique $-(X-\alpha)^2+\beta$, puis chercher la suite auxiliaire $u_n$ (qui vérifiera $u_{n+1}=u_n^2+c$) sous la forme $u_n = \gamma\big(z_n-\alpha\big)$.

Edit : Je n'avais pas vu le message de Namiswan. C'est une reformulation de ce qu'il a dit.

GaBuZoMeu · June 2022

Bonjour

Explicitement, avec $c=-\dfrac{a^2}4+\dfrac{a}2$ et $z= -a\left(w-\dfrac12\right)$, $z'=z^2+c$ devient $w'=aw(1-w)$.

Faa Di Bruno · June 2022

Merci, je viens de faire les calculs comme conseillés par Calli (j'avais la forme canonique mais j'avais abandonné en cours de route). Finalement avec tes notations je trouve $\gamma = -a$ et $c = \dfrac{a-2}{4} \times \gamma$ ce qui donne $c = -\dfrac{a^2}{4} +\dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{2}\left( 1 - \dfrac{a}{2}\right)$ comme indiqué sur Wiki.

Super, merci beaucoup !

Faa Di Bruno · June 2022

Merci GaBuZoMeu, je viens de lire ton message. Ca me rassure sur mon calcul. Top !

Faa Di Bruno · June 2022

Il faut donc bien que je prenne $z_0 = \dfrac{1}{2}$ dans la suite logistique pour ensuite avoir $Z_0 = 0$ après le changement de variable et obtenir l'ensemble de Mandelbrot. J'avais fait ce choix guidé par mes lectures mais sans le comprendre, maintenant c'est plus clair.

En prenant un autre $z_0$ au départ, je n'aurais pas obtenu l'ensemble de Mandelbrot présent sur ma figure ?

Suite logistique et ensemble de Mandelbrot

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