Existence d'une solution réelle

Niser · June 2022

Bonjour,
Je veux trouver l'ensemble des solutions réelles (x,y) de l'équation : $$
\frac{y-x+1}{y-x-1}=\frac{x^2}{y^2} $$
sous la condition $y-x-1>0$. Je comptais utiliser un logiciel (par exemple Maple ou autre...) pour savoir si ce système admet des solutions $x$, $y$, tous les deux réelles, sauf que je ne connais pas grand chose de ce qui est logiciels numériques. Pouvez-vous m'aider à savoir si ce système admet des solutions réelles?
Merci d'avance !

GaBuZoMeu · June 2022

Bonjour,

GeoGebra :

Math Coss · June 2022

Il y a des solutions (plein !). En voici une représentation.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/0x/96w3gejwus4m.png

Pour calculer au lieu d'explorer, on peut par exemple fixer $y$ réel et étudier le polynôme de degré trois en $x$ qui provient de l'équation. Il s'agit de montrer qu'il a une unique racine strictement plus petite que $y-1$ (le cas $y=0$ conduit à $x=-1$ qui pose problème pour diviser).

Niser · June 2022

Merci !

Niser · June 2022

Et si j'ajoute aux deux conditions précédentes la condition $\frac{|z-y-1|^2}{|z-x-1|^2}=\frac{x^2}{y^2}$, $z\in \R $; à ce moment-là je dessine sur GeoGebra mais en dimension 3 en considérant séparément les deux cas $\frac{z-y-1}{z-x-1}=\frac{x}{y}$ et le cas $\frac{z-y-1}{z-x-1}=-\frac{x}{y}$. Je trouve qu'il n'y a pas de solution. Est-ce que c'est correct ?
(La seule solution que je trouve est $x=-1, y=0$ qui pose problème pour diviser, comme vous l'aviez remarqué.)

Math Coss · June 2022

Le premier cas conduit à $z=x+y+1$, l'autre à $z=\dfrac{x^{2} + y^{2} + x + y}{x + y}$.

Pourquoi est-ce que toute solution $(x,y)$ de la première équation ne conduirait pas à une solution du système (aux problèmes d'annulation des dénominateurs près) ?

Niser · June 2022

Oui, vous avez raison. Merci !

Existence d'une solution réelle

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