Suite logistique et ensemble de Mandelbrot
Bonjour,
Je travaille en ce moment sur la suite logistique définie par :
$$\forall n \geq 0 : u_{n+1} = a \times u_n \times (1-u_n),$$
avec $a \in [0;4]$ et $u_0 \in [0;1]$.
J'ai entrepris ensuite de travailler dans $\mathbb C$ donc en prenant $a \in \mathbb C$ et $z_0 \in \mathbb{C}$.
J'ai désormais $\forall n \geq 0 : z_{n+1} = f(z_n,a) = az_n(1-z_n).$
J'ai représenté informatiquement l'ensemble $E = \{ a \in \mathbb C : \lim\limits_{n\mapsto +\infty} \left | f(z_n,a)\right | \neq +\infty \}$ (j'ai fixé arbitrairement $z_0 = 0.5)$.
J'ai obtenu :
En "zoomant" sur le "point" qu'on voit tout à droite de l'ensemble précédemment obtenu, je retrouve l'ensemble de Mandelbrot.
Je voulais comprendre pourquoi. Plus précisément, je pense qu'il existe un changement de variable (sur des intervalles pour les paramètres à préciser) pour passer de l'équation de la suite logistique à l'équation "classique" $$\forall n \geq 0 : z_{n+1} = z_n^2 + c$$ avec $c \in \mathbb C$ et $z_0 = 0$.
Ce changement de variables est mentionné brièvement sur la page Wikipédia sur l'ensemble de Mandelbrot, en exhibant $c = \dfrac{a}{2}\left ( 1 - \dfrac{a}{2} \right )$ mais je n'arrive pas à retrouver ce que je souhaite.
Merci de votre aide, c'est pour préparer une vidéo sur la suite logistique, le chaos et les fractales. D'ailleurs si vous avez une bonne biblio dessus je suis intéressé.
Je travaille en ce moment sur la suite logistique définie par :
$$\forall n \geq 0 : u_{n+1} = a \times u_n \times (1-u_n),$$
avec $a \in [0;4]$ et $u_0 \in [0;1]$.
J'ai entrepris ensuite de travailler dans $\mathbb C$ donc en prenant $a \in \mathbb C$ et $z_0 \in \mathbb{C}$.
J'ai désormais $\forall n \geq 0 : z_{n+1} = f(z_n,a) = az_n(1-z_n).$
J'ai représenté informatiquement l'ensemble $E = \{ a \in \mathbb C : \lim\limits_{n\mapsto +\infty} \left | f(z_n,a)\right | \neq +\infty \}$ (j'ai fixé arbitrairement $z_0 = 0.5)$.
J'ai obtenu :
En "zoomant" sur le "point" qu'on voit tout à droite de l'ensemble précédemment obtenu, je retrouve l'ensemble de Mandelbrot.
Je voulais comprendre pourquoi. Plus précisément, je pense qu'il existe un changement de variable (sur des intervalles pour les paramètres à préciser) pour passer de l'équation de la suite logistique à l'équation "classique" $$\forall n \geq 0 : z_{n+1} = z_n^2 + c$$ avec $c \in \mathbb C$ et $z_0 = 0$.
Ce changement de variables est mentionné brièvement sur la page Wikipédia sur l'ensemble de Mandelbrot, en exhibant $c = \dfrac{a}{2}\left ( 1 - \dfrac{a}{2} \right )$ mais je n'arrive pas à retrouver ce que je souhaite.
Merci de votre aide, c'est pour préparer une vidéo sur la suite logistique, le chaos et les fractales. D'ailleurs si vous avez une bonne biblio dessus je suis intéressé.
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Réponses
si $P$ est de degré $2$ il a un unique point critique $\alpha$. Si $u$ est la translation envoyant $0$ sur $\alpha$ ($u(z)=z+\alpha$), alors $Q=u^{-1}Pu$ a pour unique point critique $0$, donc $Q$ est de la forme $Q(z)=Az^2+B$. En posant ensuite une bonne dilatation $v(z)=z/A$, $R=v^{-1}Qv$ est de la forme $v(z)=z^2+c$.
Après faut expliciter un peut les calculs pour voir la valeur de $c$ et de la conjugasion en fonction des coefficients initiaux
Effectivement j'ai déjà lu qu'un tel résultat existait mais je n'ai jamais vu de preuve ou d'exemple où on l'appliquait.
Merci je vais creuser par là.
Tu peux mettre le polynôme $X(1-X)$ sous la forme canonique $-(X-\alpha)^2+\beta$, puis chercher la suite auxiliaire $u_n$ (qui vérifiera $u_{n+1}=u_n^2+c$) sous la forme $u_n = \gamma\big(z_n-\alpha\big)$.
Edit : Je n'avais pas vu le message de Namiswan. C'est une reformulation de ce qu'il a dit.
Super, merci beaucoup !
En prenant un autre $z_0$ au départ, je n'aurais pas obtenu l'ensemble de Mandelbrot présent sur ma figure ?