Groupe fini
Réponses
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Ah d'accord. Je n'ai jamais lu un cours ou fait un exercice qui manipule des familles génératrices de groupes finis en notation additive en plus, donc j'avoue ne pas savoir ce que je fais.
Je maitrise les familles génératrices dans les espaces vectoriels car j'ai traité des centaines d'exercices et lu des dizaines de cours avec plein d'exemples.
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Combien d'exercices as-tu réellement résolus (sans regarder le corrigé ni demander à personne, et en étant 100% sûr de ta réponse) ?
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@Oshine, je pense que tu feras un énorme bond en avant quand tu cesseras de croire que si tu ne comprends pas quelque chose, c'est parce que tu ne l'as pas étudié !La plupart du temps, tu refuses d'appliquer les définitions, de raisonner à partir de rien d'autre que ce que l'on te donne, simplement pour le prétexte que tu ne les as pas rencontrés auparavant.C'est pour cela que tu as du mal avec des exercices du concours Kangourou : la plupart font appel au bon sens, et n'utilisent rien qui soit dans le cours des collégiens. C'est pour cette raison que tu ne comprends pas quand on te dit "C'est écrit juste au-dessus" ou "Applique la définition"... Tu CROIS que tu n'es pas capable de raisonner sans que quelqu'un t'ait dit comment raisonner.Les personnes qui te disent depuis des années de "reprendre les bases" se trompent sur tes blocages, selon moi. Ce qu'il faut que tu apprennes à faire, c'est raisonner tout seul. Quand on raisonne tout seul, on peut se planter, partir dans une mauvaise direction, ne pas aboutir, réessayer autrement et échouer encore. Mais ensuite, quand on y arrive, on est certain de pouvoir le refaire autant de fois qu'on veut.Alors, si tu veux vraiment progresser, enlève les petites roues de ton vélo... Arrête de demander que le forum te fasse progresser : il n'y a que toi qui puisse faire cela.
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@JLT les seuls exercices que je fais seul sont ceux du site beos d'oraux de concours car il n'y a pas de corrigé.
J'avais traité le sujet centrale MP 2022 sur les formes symplectiques j'ai du réussir 10 questions tout seul.
Je ne crois pas en avoir réussi un en entier mais j'ai déjà réussi la moitié ou le tiers de plusieurs exercices surtout de niveau CCINP.
@bisam cette notion se famille génératrice d'un groupe fini n'est pas claire pour moi. J'ai l'impression de ne rien comprendre.
Je peux bloquer sur un exercice qui traite de famille génératrice dans un espace vectoriel mais au moins je sais que je maîtrise la notion, je connais plein d'exemples simples sur lesquels je peux me rattacher car c'est une notion que je côtoie très souvent.
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Mais bon sens le cardinal c'est $2^{n}$ pour un certain $n\in\N$...
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Si tu as un groupe fini il a un nombre fini de générateurs et tu prends un système de générateurs de cardinal minimal. Ça existe car le groupe est fini.
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Ben alors essaie de la comprendre avant de faire l'exo...OShine a dit :@bisam cette notion se famille génératrice d'un groupe fini n'est pas claire pour moi. J'ai l'impression de ne rien comprendre.
Voici les définitions :
1) soit $I$ un ensemble, une famille $(g_i)_I$ d'un groupe $G$ est dite génératrice si $G$ est le plus petit sous-groupe (au sens de l'inclusion) qui la contient. Dit autrement, si $G'\subset G$ est un sous-groupe de $G$ qui contient tous les $g_i$ alors $G'=G$.
(Remarque : cette définition est valable pour toutes les structures algébriques "standard" : groupes, anneaux, espaces vectoriels etc.)
2) Une famille génératrice minimale de $G$ est une famille génératrice $(g_i)_I$ telle que toute sous-famille stricte n'est pas génératrice. Dit autrement $(g_i)_I$ est génératrice et si $J\varsubsetneq I$ alors $(g_i)_J$ n'est pas génératrice.
(Remarque : cette définition est valable pour toutes les structures algébriques "standard" : groupes, anneaux, espaces vectoriels etc.)
Et là pour ne pas rester dans l'abstrait tu cherches tout seul des exemples de groupes, de familles génératrices et de familles génératrices minimales. -
Bisam te propose d'apprendre à raisonner. Et quand je te dis que tu devrais essayer des jeux comme le sudoku, c'est exactement cette idée.
Si ceci, alors cela, mais impossible, donc pas ceci, etc etc
Toute la démarche de recherche, que tu ne fais strictement jamais.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Voici où se situe mon problème. La famille $(1,X)$ est génératrice de $\R_1[X]$ donc tout polynôme de $\R_1[X]$ peut s'écrire sous la forme $P= a + bX$.
Mais pour les groupes je ne vois pas comment adapter. Comme écrire $g$ en fonction des $(g_i)$ ?
@Amédé ok mais je ne vois pas la contradiction et comme l'a dit JLT j'écris n'importe quoi sur les familles génératrices de groupe. Il faut que je prenne des exemples concret pour comprendre la logique.
@lourrran oui sudoku et concours kangourou, je vais refaire des kangourous.
@raoul.S merci j'ai compris les définitions. J'ai trouvé trois exemples.
Soit $F=( \bar{0}, \bar{1},\bar{2} )$ elle est génératrice de $G=(\Z / 3 \Z,+)$.
Si $G=(\Z,+)$ et $F= \{2 \}$. Montrons que le sous-groupe engendré par $F$ est $ 2 \Z$.- $2 \Z$ est un sous-groupe de $(\Z,+)$ car les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont les $n \Z$ avec $n \in \N$.
- $2\Z$ contient $2$ car $2 \times 1 =2 \in 2 \Z$.
- Si $H$ est un autre sous-groupe contenant $2$, montrons que $2 \Z \subset H$. Comme $H$ contient $2$ et que c'est un groupe, il contient $2+2+ \cdots +2 = 2n$ avec $n \in \N$ et il contient aussi l'inverse de $2$ qui est $-2$ et donc $-2-2- \cdots -2 = -2n$. Ainsi $2 \Z \subset H$.
- $\{2^n \mid n \in \Z \}$ est un sous-groupe de $(\R^{*}, \times)$ (facile à vérifier).
- $\{2^n \mid n \in \Z \}$ contient $2$ car $2^1 =2$.
- Si $H$ est un autre sous-groupe contenant $2$, montrons que $\{2^n \mid n \in \Z \} \subset H$. Comme $H$ contient $2$ et que c'est un groupe, il contient $2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^n$ avec $n \in \N$ et il contient aussi l'inverse de $2$ qui est $2^{-1}$ et donc $2^{-1} \times \cdots \times 2^{-1}=2^{-n}$. Ainsi $\{2^n \mid n \in \N \} \ \subset H$.
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Bisam te dit que tu ne réussis pas les exercices 'Kangourou'. Il ne te dit pas qu'essayer ces exercices te fera progresser.
Ca fait 20 ans que tu essaies d'apprendre à raisonner en t'appuyant exclusivement sur des exercices de maths. Bilan : niveau 0.
Essaie d'apprendre à raisonner avec d'autres outils : Le jeu d'échecs, les jeux de sudoku ou similaires, les jeux de cartes. Et il y a surement d'autres pistes.
Tu as besoin d'exercices avec une progression : niveau 0, niveau 1, niveau 2, niveau 3 ... niveau 10.
Les exercices Kangourou, il y a peut-être des indications de difficulté, mais comme les mécanismes à mettre en oeuvre sont totalement différents d'un exercice à l'autre, tu ne peux pas vraiment t'appuyer là-dessus pour progresser.
Personnellement, je te conseille vraiment le sudoku (ou des jeux similaires). Mais je suis également totalement convaincu que dès que tu vas arriver à des grilles de niveau débutant ou intermédiaire, tu diras : je n'y arrive pas.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@OShine ok pour tes exemples. Tes familles génératrices sont toutes à un seul élément. Essayons avec 2 éléments :
1) Dans $(\Z,+)$ quel est le sous-groupe engendré par la famille $(2,3)$ ? Cette famille est-elle minimale ? Si non, donne une famille génératrice minimale.
2) Dans $(\Z,+)$ quel est le sous-groupe engendré par la famille $(3,6)$ ? Cette famille est-elle minimale ? Si non, donne une famille génératrice minimale.
3) Quel est le sous-groupe additif engendré par $(1,X)$ dans $\R_1[X]$ ? -
Je me suis donné pour règle de ne pas intervenir dans ce genre de fil, mais là je dois dire que je suis estabousi je (comme disent les Chauriens) qu'une question aussi simple mobilise cent-soixante réponses !Si j'ai bien suivi, on a un groupe $G$, d'élément neutre $e$, tel que pour tout $x \in G$, on a : $x^2=e$. C'est un des tout premiers exercices qu'on voit lorsqu'on étudie les groupes. Même moi, qui suis bien rouillé en algèbre « moderne » (comme on disait il y a cinquante ans), je sais démontrer en une demi-ligne que ce groupe est abélien. On le note additivement, soit $0_G$ son élément neutre, et on le munit d'une loi externe avec le corps $\mathbb Z/2 \mathbb Z=\{ \dot{0},\dot{1} \}$ comme ensemble d'opérateurs, en posant, pour $x\in G$ : $\dot{0}\cdot x=0_G,\dot{1} \cdot x=x$. Il est immédiat que $G$ devient ainsi un $(\mathbb Z/2 \mathbb Z)$-espace vectoriel, en connaissant seulement la définition d'un tel espace. Si $G $ est fini, il aura donc forcément $2^d$ éléments, où $d$ est la dimension du $(\mathbb Z/2 \mathbb Z)$-espace vectoriel $G$.Je n'ai pas lu en détail les cent-soixante réponses, qui disent certainement déjà ceci, et je ne vois pas ce qu'on peut dire de plus.Bonne journée.Fr. Ch.
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On a :
- $<(2,3)>= \Z$
- $<(3,6)>= 3 \Z$. Elle est minimale car $<3>=3 \Z$ n'est pas génératrice de $(\Z,+)$ car $(\Z,+)$ n'est pas le plus petit sous-groupe qui contient $(3)$ c'est $3 \Z \subset \Z$.
- $<(1,X)>=\R_1[X]$.
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Amede non cet exercice n'est pas traité dans mes livres les exercices de première année sont plus simples quand on débute sur les groupes.
Je n'arrive pas à comprendre la contradiction dans l'injectivité. -
En effet, on peut traiter cet exercice sans les espaces vectoriels, c'est ainsi que l'on m'a fait faire au siècle précédent quand j’étais un jeune étudiant.Repartons d'un groupe $G$, d'élément neutre $e$, tel que pour tout $x \in G$, on a : $x^2=e$, groupe qui est forcément abélien.Si $H$ est un sous-groupe autre que $G$ et si $x\in G\backslash H$, alors $H\cap xH=\varnothing $ et $H\cup xH$ est encore un sous-groupe. Si le sous-groupe $H$ comprend $m$ éléments, alors $H\cup xH$ comprend $2m$ éléments. En partant du sous-groupe $H_0=\{e\}$, on définit ainsi une suite croissante de sous-groupes $H_0, H_1,...$ tels que $H_k$ comprend $2^k$ éléments. Si $G$ est fini, il est égal à l'un des $H_k$. CQFD.Le groupe $G$ est un groupe booléen.Faites excuse si tout ça a déjà été dit, j'ai la flemme de regarder......................................................................................................................Hé Dieu ! Si j'eusse étudié
Au temps de ma jeunesse folle
Et à bonnes mœurs dédié
J'eusse maison et couche molle !
Mais quoi ? Je fuyaie l'école
Comme fait le mauvais enfant
En écrivant cette parole
À peut que le cœur ne me fend. -
Oshine,
Peux tu écrire $\pi$ en fonction de $1$ et $X$ ? -
Si, tout est très clair. Merci à Chaurien pour cette proposition de solution.
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Moi je n'ai rien compris.
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$\pi = 3.14159....$
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On ne peut pas c'est $<(1,X)>= \Z+ \Z X$ j'avais fait une erreur.
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Rien ne marche.
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Honnêtement tu as réfléchi combien de temps au point 1? C'est un raisonnement de début de sup que tu as déjà vu 50 fois.
Pour le reste on t'a dit que G était abélien...
La dernier point que tu n'as pas réussi est une honte absolue.
En fait à se demander si tu as réfléchi plus longtemps que tu n'as écrit les choses à montrer -
Lorsqu'on dit "minimale" c'est par rapport au sous-groupe qu'elle engendre. Donc en reformulant la question : est-ce que la famille $(3,6)$ est une famille génératrice minimale du sous-groupe qu'elle engendre ? donc de $3 \Z$ ?OShine a dit :On a :- $<(3,6)>= 3 \Z$. Elle est minimale car $<3>=3 \Z$ n'est pas génératrice de $(\Z,+)$ car $(\Z,+)$ n'est pas le plus petit sous-groupe qui contient $(3)$ c'est $3 \Z \subset \Z$.
En ce qui concerne le point 1) mentionné également par noobey ci-dessus OShine, je te le dis : tu abuses
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A ceux qui ne peuvent s'empêcher de répondre à Oshine: et si vous arrêtiez ?Certes la modération ne vous en empêche pas et ne modère pas la tournure "cours particulier public sado maso" que prennent systématiquement les "discussions" créées par OShine. Mais si vous vous modériez vous-mêmes pour commencer ?
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Bonsoir
Ce genre de fil agit comme un aimant : la raréfaction de sujets conduit à une concentration des réponses et des intervenants sur les questions mises par OS... c'est un cercle vicieux, me semble quand même qu’après 4 pages, OS a tous les éléments pour répondre de plusieurs manières. S'il n'y arrive pas c'est qu'il n'est pas mûr pour ce type de question.
Est-il possible de fermer ce fil ? Merci.
Jean-éric -
@confinoum0211 ce n'est pas une preuve, mais des éléments de preuve.... Dans une preuve, on démontre tout. Après je trouve sa méthode jolie même si je n'ai pas réussi à tout démontrer.
@raoul.S d'accord merci. Non elle n'est pas minimale, La famille minimale est $(3)$.
Ok je reprends. Soit $x \in G \cap \bar{H}$.
1) Montrons que $H \cap xH = \emptyset$.
S'il existe $z \in H \cap xH$. Alors il existe $h,h' \in H$ tels que $z= h = x h'$ et donc $h h' ^{-1} = x$. Ce qui montre que $x \in H$ ce qui est absurde. Donc $z \in \emptyset$ et finalement $\boxed{H \cap xH = \emptyset}$
2) Montrons que $H \cup xH$ est un sous-groupe de $G$.
$e \in H \cup xH$.
Soit $y \in H \cup xH$ et $z \in H \cup xH$.- Si $y$ et $z$ sont dans $H$ alors on a $y z^{-1} \in H$.
- Si $y$ et $z$ sont dans $xH$ alors il existe $h,h' \in H$ tels que $y=xh$ et $z=xh'$. Donc $y z^{-1} = xhh ' ^{-1}x^{-1}=xx^{-1}hh'=hh' \in H \subset H \cup xH$ car $G$ est abélien.
- Si $y \in xH$ et $z \in H$ alors $y=xh$ et $z= h'$ donc $yz^{-1}=x h h' ^{-1} \in xH \subset H \cup xH$
- Si $y \in H$ et $z \in xH$ alors $y =h$ et $z=xh'$ donc $y z^{-1} = hh' ^{-1} x^{-1} $ et ici je bloque à cause du $x^{-1}$
3) Si $H_0 = \{e \}$ alors $H_1 = H_0 \cup x H_0 = \{ e , x \}$. Puis $H_2 = H_1 \cup x H_1 = \{ e,x,x^2 \}$ avec $x^2=e$.
Pourquoi je ne trouve que deux éléments pour $H_2$ alors qu'on doit en avoir $2^2$ ?
Si $G$ est fini pourquoi il est forcément égal à un des $H_k$ ? -
J'ai laissé de côté la méthode de Chaurien, j'ai trouvé un corrigé assez clair je trouve la version multiplicative plus simple. J'ai compris l'autre méthode.
On a $g_j = g_1 ^{-\varepsilon_1} \cdots g_{j-1} ^{-\varepsilon_{j-1} } \times g_{j+1} ^{-\varepsilon_{j+1} } \cdots g_r ^{-\varepsilon_r}$
$A \backslash \{ g_j \}$ serait génératrice mais on ne peut pas écrire l'élément $g_j$ avec moins d'éléments que la famille minimale génératrice, ce qui est absurde.
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Oui je demanderai en cours particulier qu'on m'explique la méthode de Chaurien, j'ai trouvé un prof enseignant chercheur à l'université de Beyrouth qui donne des cours particuliers tous niveaux, il fait des vidéos youtube depuis des années sur le programme de prépa.
Je vais prendre une formule de 5 heures de cours.
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N'oublie pas de nous donner ton retour d'expérience !
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Question : est-ce que tu lui a donné un lien vers ce forum, pour qu'il puisse savoir à qui il a affaire, et mieux adapter son enseignement ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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S'il t'aide plusIeurs heures sur un exo, évite de lui ramener à la fin un corrigé en lui disant que tu as finalement compris grâce au corrigé comme tu l'as fait ici. Il pourrait éventuellement mal le prendre... mais nous, pas du tout, t'inquiète !
Des cours particuliers en visio, pour toi, je ne suis pas convaincu mais c'est peut-être mieux que rien. Et puis 5h, c'est peu, peut-être assez pour qu'il arrive à te cerner malgré tout mais pas assez pour qu'il mette au point une stratégie efficace pour t'aider.
@lourrran Je pense qu'il vaut mieux qu'il ne le connaisse pas du tout au préalable et donc qu'il ne fréquente pas le forum afin de ne pas être influencé ou orienté d'une manière ou d'une autre, au début du moins. Un regard naïf et objectif sur OS est nécessaire je pense et il n'y en a plus aucun ici.
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Dommage que tu n'aies pas demandé à troisqua d'abord, ça aurait été marrant après nous avoir rabâché ad nauseam qu'il ne fallait plus répondre à tes postsOShine a dit :j'ai trouvé un prof enseignant chercheur à l'université de Beyrouth qui donne des cours particuliers tous niveaux...
PS. je ferais remarquer en passant que la modération ne l'a pas modéré à lui non plus... -
Je lui ai expliqué que j'avais passé 1 semaine sur un forum et que malgré que j'ai obtenu plusieurs aides je n'ai pas compris les solutions.
Il m'a dit que cet exercice était difficile et pas guidé.
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Il est donc complaisant et bienveillant et un prof particulier essaye toujours de l'être au mieux. Après tout, ce n'est pas dans son intérêt de te descendre s'il souhaite que tu reprennes des leçons à l'avenir. Mais attention aussi à ne pas tomber aussi sur un profiteur. Ce n'est pas parce qu'il fait des vidéos youtube "cools" et "sympas" qu'il est pour autant celui qu'il te faut. Mais ça te donne au moins une idée à priori.
Après, c'est ta vie et ton argent, up to you ! -
Il y a d'abord un rdv de 20 min gratuit pour discuter de mes difficultés et mes besoins.
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Oui, ce qu'on te dit depuis la 1ere page je citeOShine a dit :Je lui ai expliqué que j'avais passé 1 semaine sur un forum et que malgré que j'ai obtenu plusieurs aides je n'ai pas compris les solutions.
Il m'a dit que cet exercice était difficile et pas guidé.
"Hello, d'après moi tu peux oublier l'exo il est bien trop compliqué pour toi"
"Au delà de l'astuce (y a 10 façons de résoudre cet exo) tu ne comprendras aucune des méthodes de résolution donc fais confiance et abandonne l'exo."
Mais tu as préféré quand même perdre 1 semaine dessus !
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Oshine,as-tu regardé les vidéos de "maths adulte" ? Il est très pédagogue et on comprend très facilement.
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Oui j'ai vu toutes ses vidéos et je regarde tous les lives. Il est cool.
Il y a des trucs que je ne comprends pas quand il corrige les épreuves de l'interne.
Je ne le choisirai pas comme prof particulier. Parfois il va trop vite.
Il bloque régulièrement sur des questions des écrits de l'interne. -
C'est pas très sympas de dire ça (ta dernière phrase).
Tu sais quand on réfléchit à une question, on bloque forcement (puisqu'on a pas nécessairement la réponse immédiatement). -
Oui possible et sur les corrigés on ne voit pas la phase de recherche et combien de temps à mis le correcteur pour traiter les questions.
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