Résoudre une inéquation évidente

Lolo36 · June 2022

Bonjour
Je viens de me poser la question de comment résoudre l'inéquation $e^x\geqslant 0$. La réponse est évidemment $x\in\mathbb{R}$ ; mais faut-il admettre que cette solution découle de la définition de la fonction exponentielle qui est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , ou bien peut-on réellement résoudre cette inéquation ? Fonction de Lambert ?
Merci d'avance.

P.2 · June 2022

si tu definis $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ comme le recommandent Rudin et Dieudonne, tu en deduis $e^{x+y}=e^xe^y$ et $e^{-x}=\frac{1}{e^x}>0$ si $x>0.$

L2M · June 2022

Lolo36 a dit :
... mais faut-il admettre que cette solution découle de la définition de la fonction exponentielle qui est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , ou bien peut-on réellement résoudre cette inéquation ? ...

$-$ Pourquoi dis-tu "admettre"?

$-$ Pourquoi dis-tu "réellement résoudre" ? Toute résolution correcte est réelle !

Lolo36 · June 2022

Car des fois j'entends dire "par définition", donc ça sous entend qu'on n'a pas besoin de résoudre la chose en question, tellement c'est évident. Mais je ne suis pas trop adepte de cette tournure

Bon ok, je ne savais pas que j'avais à faire à des personnes aussi pointilleuses sur les mots. Je vous pose maintenant la question suivante L2M : Pourquoi ne répondez-vous pas à ma question ?

gerard0 · June 2022

Bonjour Lolo36.

La réponse de L2M ne m'a pas surpris, car le mot "admettre" est bizarre ici. On "admet" tout ce qui est démontré, donc on n'a pas à "admettre" la propriété $\exp(x)\ge 0$.

Finalement, tu sembles penser que la résolution d'une équation est un processus composé d'un certain nombre d'étapes de calcul. Pourtant, comment résous-tu les équations d'inconnue x suivantes :

* x=2

* 2=0

Si on sait que l'exponentielle est strictement positive, la résolution de ton équation est immédiate.

Cordialement.

L2M · June 2022

Lolo36 a dit :

... cette solution découle de la définition de la fonction exponentielle qui est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

Attention ! On a définit la fonction exponentielle, puis on a montré qu'elle est positive à partir de cette définition.

Math Coss · June 2022

On peut aussi constater que $\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\e^x=(e^{x/2})^2\ge0$ pour tout $x$ réel .

L2M · June 2022

Considérons la définition de $\exp$ suivante :

La fonction $\ln$ est bijective de $]0;+\infty[$ dans $\mathbb{R}$. La fonction $\exp$ est la fonction réciproque de $\ln$ $(\exp=\ln^{-1})$, bijective elle aussi de $\mathbb{R}$ dans $]0;+\infty[$. Donc $\exp\left(\mathbb{R}\right)=]0;+\infty[$.

L2M · June 2022

P.2 a dit :

..., tu en deduis $e^{x+y}=e^xe^y$ et $e^{-x}=\frac{1}{e^x}>0$ si $x>0.$

Pourquoi $\frac{1}{e^x}>0$ si $x>0$ ?

Math Coss · June 2022

Le signe d'une somme de termes positifs ne devrait pas être trop difficile à déterminer...

L2M · June 2022

Math Coss ou utiliser la monotonie de $\exp$ sur $[0;+\infty[$. Si $x\geq0$, $e^x\geq1$.

L2M · June 2022

Fixons un $x\in\mathbb{R}$. Il existe un entier naturel $N$ tel que $-N<x$. Ainsi,

$\forall n\geq N, x>-n$. Donc $\forall n\geq N, e^x>e^{-n}$. En passant à la limite $n\to+\infty$, on aura $e^x\geq 0$.

Lolo36 · June 2022

Merci pour ces démonstrations !

Math Coss · June 2022

La monotonie de l'exponentielle, on l'obtient comment ? Par la positivité de la dérivée ? Pas très satisfaisant... Par la monotonie des termes que l'on ajoute ? Alors c'est essentiellement la même chose que ce que j'ai dit, en plus compliqué...

L2M · June 2022

Ou par la monotonie de $\ln$ dont la dérivée est $x\mapsto \frac{1}{x}$, et comment on montre que $(e^x)^n=e^{nx}$.

Math Coss · June 2022

Mais alors le signe est évident, comme tu l'as dit toi-même, non ?

JLapin · June 2022

Lolo36 a dit :

faut-il admettre que cette solution découle de la définition de la fonction exponentielle ?

Non, il ne "faut" rien du tout. En fonction de l'axiomatique utilisée pour présenter la fonction exponentielle (selon les publics, telle ou telle est utilisée), tu peux faire une démonstration (plus ou moins simple) de la stricte positivité.

Accessoirement, j'ai l'impression que tu confonds "résoudre une inéquation" et "démontrer une inégalité".

Le sujet de ton message devrait plutôt être "Démontrer une inégalité évidente".

nicolas.patrois · June 2022

Dans le concours de définitions bizarres de l’exponentielle, on doit bien en trouver une qui utilise sa positivité comme axiome, non ?

Soc · June 2022

C'est toujours le même principe quand on pose une question en mathématiques: si l'on ne veut pas repartir des axiomes il faut savoir ce que l'on s'autorise à utiliser et donc à quel niveau/cadre on se place. Si on pose la question à un étudiant, il est sensé répondre qu'il n'y a rien à démontrer car c'est du cours. En revanche dans le cours il est de bon ton de le démontrer en partant de la définition choisie.

Lolo36 · June 2022

JLapin a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2365041/#Comment_2365041
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Ici je parle bien de résoudre l'inéquation, comme on l'apprend dès la seconde, c'est-à-dire qu'à la fin je dois obtenir un ensemble solution. Effectivement, on peut aussi démontrer cette inégalité pour tout $x\in\mathbb{R}$, mais ce n'est pas le même exercice.