Des chiffres en ordre croissant
On désigne par $A$ l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que les chiffres (en base $10$) de $n$ ainsi que ceux de $n^2$ soient en ordre croissant. Par exemple : $117\in A$; $\quad 3335\in A$.
On pose $u_0=7$ et pour tout $n\in \N$ : $\quad u_{n+1}=10 u_n -3.$
Montrer que : $\forall n \in \N, \quad \forall m \in \N,\quad \dfrac {u_n +u_m}{2} \in A$.
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Réponses
Si $m<n<2m+1$ alors $\left(\frac{u_n+u_m}{2}\right)^2=1\dots13\dots34\dots46\dots68\dots89$.
Si $n=2m+1$ alors $\left(\frac{u_n+u_m}{2}\right)^2=1\dots13\dots36\dots68\dots89$.
Si $n>2m+1$ alors $\left(\frac{u_n+u_m}{2}\right)^2=1\dots13\dots35\dots56\dots68\dots89$.