Groupe fini

@Xavier Var pourquoi je devrais changer les hypothèses de la formule ?

Ok merci JLT en effet ça parait plus clair avec un exemple. Mais dans le cas général, je n'ai pas abouti. 
Par exemple $u=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)=(1,1,1,0)$ et $v=(\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4)=(0,1,0,1)$
Donc $A= \{ 1,3\}$ , $B=\{ 4 \} $ , $A'= \{1,2,3 \}$ et $B'= \{ 2 ,4 \}$
$f(u+v)= \displaystyle\sum_{x \in A } x_i + \displaystyle\sum_{x \in B } x_i  = x_1 + x_3+ x_4$
$f(u)+f(v)=  \displaystyle\sum_{x \in A' } x_i +  \displaystyle\sum_{x \in B' } x_i = x_1 +x_2+ x_3 + x_2+x_4 $
Mais $x_2+x_2= 0$ (notation additive) donc $f(u)+f(v)= x_1+ x_3+x_4 = f(u)+f(v)$
Cas général : 
On sait que $A= A' \cap \bar{B'}$ et $B= B' \cap \bar{A'}$
Donc $f(u+v)= \displaystyle\sum_{x \in  A' \cap \bar{B'} } x_i + \displaystyle\sum_{x \in  B' \cap \bar{A'}  } x_i $
Or $ \displaystyle\sum_{x \in  A' \cap \bar{B'} } x_i  =  \displaystyle\sum_{x \in  A'  } x_i + \displaystyle\sum_{x \in  \bar{B'} } x_i  -  \displaystyle\sum_{x \in  A' \cup \bar{B'} } x_i $ et  $ \displaystyle\sum_{x \in  B' \cap \bar{A'} } x_i  =  \displaystyle\sum_{x \in  B'  } x_i + \displaystyle\sum_{x \in  \bar{A'} } x_i  -  \displaystyle\sum_{x \in  B' \cup \bar{A'} } x_i $
Donc $f(u+v)=   \displaystyle\sum_{x \in  A'  } x_i  +  \displaystyle\sum_{x \in  B'  } x_i  + \left( \displaystyle\sum_{x \in  \bar{B'} } x_i  -  \displaystyle\sum_{x \in  A' \cup \bar{B'} } x_i  + \displaystyle\sum_{x \in  \bar{A'} } x_i  -  \displaystyle\sum_{x \in  B' \cup \bar{A'} } x_i  \right)$
$\boxed{f(u+v)= f(u)+f(v)+ \left( \displaystyle\sum_{x \in  \bar{B'} } x_i  -  \displaystyle\sum_{x \in  A' \cup \bar{B'} } x_i  + \displaystyle\sum_{x \in  \bar{A'} } x_i  -  \displaystyle\sum_{x \in  B' \cup \bar{A'} } x_i  \right)}$
À partir de là je suis bloqué, je ne vois pas comment continuer.

Par contre l'injectivité je n'ai pas réussi.
Je prends $u=(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ tel que $f(u)=0_G$ et je dois montrer que $u=0$. On a $\displaystyle\sum_{x \in A'} x_i=0$
Je ne vois pas comment utiliser que $\{x_1, \dots, x_n \}$ est une partie génératrice de $G$.

Bon je crois avoir compris finalement ma première question merci @JLT.
Comme $A=  \{ x_1, \cdots, x_n \}$ alors tout élément de $G$ s'écrit sous la forme $g = x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n$ avec les $x_i \ne 0$. 
Or $x_{i_1} \in G$ et $x_{i_1} = x_{i_2} + \cdots + x_{i_k}$ et c'est impossible car $A$ est de cardinal minimal.
D'où $card \ G = 2^{ card (A) } =2^n$
Le cardinal de $G$ est donc égale à $2$ puissance le cardinal de la famille génératrice minimale de $G$.
La fin je ne crois pas avoir compris le $2^n ,\ \  n \in \N$. Pourquoi ça marcherait pour tous les entiers $n \in \N$ ? 
@lourrran je n'ai pas compris ce qu'il faut faire dans ton exercice. Montrer que $E$ convient pour quoi faire ?