Poursuite infernale
Bonjour
Non, ce n'est pas le titre d'un western de Sergio Leone !
Il m'est revenu en mémoire un sujet donné en maths sup. il y a fort longtemps.
"Quatre mouches M,N,P,Q sont aux quatre sommets A,B,C,D d'un carré direct ABCD.
A l'instant t=0, chacune de ces mouches vole vers celle qui est devant elle à la vitesse v (m/s) (M vers N, N vers P, P vers Q et Q vers M)."
Question. Se rejoindront-elles et si oui, où et quand ?
Oui c'est un classique, mais si le cœur vous en dit par ces temps de fortes chaleurs...
PG
Non, ce n'est pas le titre d'un western de Sergio Leone !
Il m'est revenu en mémoire un sujet donné en maths sup. il y a fort longtemps.
"Quatre mouches M,N,P,Q sont aux quatre sommets A,B,C,D d'un carré direct ABCD.
A l'instant t=0, chacune de ces mouches vole vers celle qui est devant elle à la vitesse v (m/s) (M vers N, N vers P, P vers Q et Q vers M)."
Question. Se rejoindront-elles et si oui, où et quand ?
Oui c'est un classique, mais si le cœur vous en dit par ces temps de fortes chaleurs...
PG
Réponses
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Bonjour,
doit-on comprendre la consigne comme "seront-elles toutes au même endroit à un certain instant ?" ?
Cordialement
Dom -
Bonjour,
Je suppose que les diagonales du carrées s'intersectent en l'origine du repère. Si on note $z(t)\in\Bbb C\cong\Bbb R^2$ la position de la mouche $M$ à l'instant $t$, alors la mouche $N$ est en $iz(t)$ au même moment ($P$ en $-z(t)$, et $Q$ en $-iz(t)$). Donc $\dot z = v \frac{iz-z}{|iz-z|}=v\frac{z(i-1)}{|z|\sqrt2}$. Et en notant $r(t) = |z(t)|$, on a $\dot r = \langle \dot z,\frac{z}{|z|} \rangle$ avec $\langle .,.\rangle$ le produit scalaire de $\Bbb R^2$, car $h\in\Bbb R^2\mapsto \langle h,\frac{x}{|x|} \rangle$ est la différentielle de $y\in\Bbb R^2\mapsto |y|$ en $x\in\Bbb R^2$. De plus, pour tous $z,z'\in\Bbb C$, $\langle z,z' \rangle=\Re(z\bar{z'})$. Donc $\dot r = \Re\big(\dot z,\frac{\bar z}{|z|} \big)=\Re(v\frac{z\bar z(i-1)}{|z|^2\sqrt2}) = -\frac{v}{\sqrt2}$. Notons $c$ la longueur du côté de MNPQ. Alors $r(t)=\sqrt2 c-\frac{v}{\sqrt2}t$. Donc toutes les mouches se rencontrent en $z=0$ à l'instant $\frac{2c}v$. -
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@Dom
oui
@Calli
Il me semble que la réponse est correcte. A l'époque, cet exercice avait été posé par la prof. de physique, dans le cadre du chapitre "cinématique". Il faudrait que je retrouve la solution, évidemment fort différente de la tienne...
@mav1
Joli! et c'est bien ainsi que les choses se passent!
Merci à tous.
PG -
Ok.
En fait, je n'avais pas du tout compris l'exercice.
J'ai eu la mauvaise interprétation où "une mouche suivait l'autre en restant sur le carré". -
Ça m’évoque le « problème du chien qui suit son maître ».Le maître marche sur un chemin rectiligne a vitesse constante : il part de l’origine du repère et monte sur l’axe des ordonnées.Le chien est sur l’axe des abscisses (c;0) et à tout instant part en direction de son maître, à vitesse constante.
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oui ! voir ici de jolies choses https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/courbe_des_chiens.html#carres
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Si je comprends bien les mouches se rejoignent en un temps fini mais effectuent un nombre infini de tours. Ce n'est donc pas physiquement possible ou je me trompe?
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Dom a dit :Ça m’évoque le « problème du chien qui suit son maître ».
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Ce sont deux problèmes de poursuite, mais bien distincts.Le problème de la courbe du chien est plus simple, puisqu'on connaît la loi du mouvement du mobile poursuivi ; il remonte à Bouguer et Maupertuis, 1732.Le problème des quatre mouches est plus difficile. On peut le poser avec $n$ mouches aux sommets d'un $n$-gone régulier, ce n'est pas plus compliqué. Il est connu en anglais sous le nom de three bugs problem. Voici un lien vers un fil de l'an dernier, où je donne une article de Murray Klamkin sur le sujet.https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/2204104#Comment_2204104
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Calli, tu avais inventé le TPE !
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Oui, ledit « TPE », ce serait peut-être adapté à des lycéens comme Calli, mais peut-être pas pour le tout-venant...
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Bonjour!
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