Convergence presque sûre d'une suite de variables ...

FOLKLOR21 · June 2022

Titre initial "Convergence presque sûre d'une suite de variables indépendantes suivant une loi de Bernoulli"

[Le titre doit être informatif mais court. Le corps du message est là pour les développements. AD]

Bonjour
Pouvez-vous m'éclairer sur ce point que je n'ai pas tout à fait saisi.

Soit $(X_{n})$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une même loi de Bernoulli de paramètre $p$ ?
Pourquoi ne peut-on pas extraire une sous-suite convergente presque sûrement ?
Merci pour vos retours .

Lucas · June 2022

Ah bah si on peut! Qui t'a dit le contraire?

FOLKLOR21 · June 2022

Merci pour ce retour .
Mon prof en amphi suite à une note que j'avais prise .
cdt .

noobey · June 2022

Hello, je ne comprends pas non plus comment on pourrait extraire une suite qui converge ps.
Imaginons une suite extraite de Xn(w) qui converge partout sur un ensemble A de proba 1 et je pose f(n) l'extraction. Alors l'ensemble {w tel Xf(2n) est différent de Xf(2n+1) pour une infinité de n} est de probabilité 1 d'après Borel Cantelli
Peut-être que je me trompe.

Calli · June 2022

Bonjour,
Je suis d'accord avec @noobey. Il n'existe pas de sous-suite convergeant presque sûrement.

Lucas · June 2022

?! Non mais l'extraction a le droit d'être aléatoire quand même. Qu'est-ce qui vous gêne à dire que la sous-suite des $X_n$ égaux à un converge p.s
?

Namiswan · June 2022

Presque sûrement il existe une sous-suite qui converge, mais il n'existe pas une sous-suite qui converge presque sûrement.

Calli · June 2022

Ah oui il y a une ambiguïté dans l'énoncé en fait. Je n'avais pas remarqué. Est-ce "Peut-on {extraire une sous-suite convergente} presque sûrement ?" ou "Peut-on extraire {une sous-suite convergente presque sûrement} ?" ? Moi j'ai compris la deuxième option. Mais Namiswan a donné la réponse dans les deux cas 👍.

Lucas · June 2022

Ouf vous me rassurez... Je pense quand même que c'est toujours plus riche d'interpréter que l'extraction peut être aléatoire (d'ailleurs on ne prend pas la peine de préciser quand on dit "de toute suite convergeant en proba on peut extraire une sous-suite convergente p.s.").

noobey · June 2022

Disons que y a un des 2 énoncés qui est purement de l'analyse et l'autre qui est purement probabiliste...

Georges Abitbol · June 2022

@Lucas : c’est marrant que tu aies compris l’énoncé comme ça. Ça m’inquiète toujours quand une phrase peut être interprétée avec deux ordres de quantification différents. Par exemple, le lemme dans la démonstration du fait que les $L^p$ sont complets, qui dit qu’on peut extraire une sous-suite presque partout convergente, ben c’est à comprendre comme « il existe une extraction déterministe le long de laquelle la suite converge presque partout ».

Quant à ton exemple « en proba », je n’ai pas fait gaffe. Je regarderai comment ça marche demain…

EDIT : ben dans http://www.math.univ-toulouse.fr/~ckilque/documents_agregation/memoire_262.pdf#page7 c’est une sous-suite déterministe ?

Calli · June 2022

Oui, il me semble aussi que pour "convergence en proba $\Rightarrow $ convergence p.s. d'une sous-suite", l'extractrice est déterministe. Et j'ai le sentiment que, de manière générale, il est plus intéressant que l'extractrice soit déterministe, car ça permet d'appliquer ce qu'on sait sur les suites de v.a. convergentes.

Lucas · June 2022

Oui c'est vrai que mon argument est très mauvais dans le cas de la conv en proba. Enfin disons que c'est vrai ce que j'ai écrit mais effectivement ce qui est utile c'est que l'extraction puisse être déterministe...