Rougevin et Lehmus

Il y a eu aussi à la même époque que Rougevin la démonstration de Grout de Saint-Paer, qui était lui aussi un élève :

Il serait curieux de savoir  combien de démonstrations on a aujourd'hui. Ce théorème entre ainsi dans la famille des théorèmes à démonstrations multiples, avec Pythagore, D'Alembert-Gauss, et surtout la loi de réciprocité quadratique. Ce qui est curieux pour un résultat qui, il faut bien en convenir, ne présente pas en soi un grand intérêt.

Je ne comprends pas bien la règle du jeu. J'avais cru comprendre qu'il s'agissait de démontrer le résultat avec seulement les quatre ou cinq premiers livres d'Euclide, alors qu'on voit plusieurs démonstrations trigonométriques.

Si l'on s'autorise tous les moyens mathématiques, on peut procéder naturellement selon la suggestion de pappus en 2012 :  calculer les longueurs des bissectrices en fonction des côtés $a,b,c$ et regarder ce que donne leur égalité. Ce calcul de longueur peut  se faire par une méthode vectorielle, sans s'embêter avec les angles, juste en observant qu'un vecteur directeur de la bissectrice intérieure de l'angle $A$ du triangle $ABC$ est : $\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}$. Ou bien on applique le théorème de la bissectrice, qu'on étudiait jadis en troisième. Le résultat figure dans le livre plusieurs fois cité sur ce forum : Relations entre les éléments d'un triangle, recueil de 273 formules, Vuibert 1904. C'est : $\ell_a=\frac 2{b+c} \sqrt {p(p-a)bc}$. Cette démonstration est très calculatoire.

Conservons donc la mémoire des précurseurs que furent les jeunes Rougevin et Grout de Saint-Paer.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

17/06/2022