$\R^2$ vs $\R \times \R$

On identifie souvent $E^p \times E^q$ avec $E^{p+q}$ via la bijection $\big((e_1,\ldots,e_p),(e'_1,\ldots,e'_q)\big) \mapsto (e_1,\ldots,e_p,e'_1,\ldots,e'_q)$.

Cela dit, on ne fait pas toujours cette identification, notamment quand les variables ont "des rôles différents". C'est par exemple le cas avec les équations différentielles
$$y'(t) = f(t,y(t))$$
avec $f : \mathbb R \times \mathbb R^n \to \mathbb R^n$, on a une variable "temporelle" $t \in \mathbb R$ et une variable "spatiale" $x \in \mathbb R^n$ qui jouent des rôles différents dans la dynamique, donc on ne fait pas l'identification $\mathbb R \times \mathbb R^n \simeq \mathbb R^{n+1}$ pour bien les distinguer.

Sinon oui en toute rigueur il faudrait noter $f((x,y))$ au lieu de $f(x,y)$, ce que personne ne fait car ça n'apporte rien.

Quand on parle d'isomorphisme entre 2 structures, c'est toujours par rapport à un langage, et il n'existe pas d'ensembles de formules dans ce langage, permettant de distinguer ces deux structures.

Ben, pense aussi aux entiers naturels et aux entiers relatifs. Est-ce que le premier est « vraiment inclus » dans le deuxième ? Est-ce que la question est pertinente dans la majorité des maths ?

On commet beaucoup d'abus de notations en maths. Par exemple, stricto sensu, on n'a pas $\mathbf N \subset \mathbf Z \subset \mathbf Q \subset \mathbf R \subset \mathbf C$ puisque chaque ensemble de nombres est usuellement construit à partir du précédent avec des quotients. Par contre, on peut identifier naturellement tous ces ensembles à des sous-ensembles de $\mathbf C$, et finalement c'est en ce sens qu'on considère l'inclusion. Mais en pratique on ne fait plus de distinction.

Tu retrouveras ces abus de notations si tu fais un peu de théorie des corps, où un corps $\mathbf K$ est plongé dans une extension $\mathbf E$. Moralement, on considère que $\mathbf K$ est un sous-ensemble de $\mathbf E$ (parce qu'en dessous, il y a une structure de $\mathbf K$-algèbre).

Ici, quand on a un ensemble $X$ non-vide, on identifie volontiers le produit cartésien $X \times X$ avec l'ensemble $X^{\{1,2\}}$ des applications de $\{1,2\}$ dans $X$. Cela parce qu'en définitive, chaque élément de ces ensembles est caractérisé par une paire $x_1,x_2$ d'éléments de $X$.

Et plus généralement, comme mentionné plus haut, on identifiera sans problème $X^p \times X^q$ avec $X^{p+q}$, en mettant « bout à bout » les coordonnées. Bien sûr il est important de garder dans un coin de sa tête qu'on fait ces identifications, de savoir pourquoi on les fait, et quelle structure on préserve en faisant ça. Mais il n'y a pas de honte à les utiliser sans le dire, au contraire !