Il y a pas mal de possibilités, je ne m'en souviens que d'une qui est selon moi la plus importante car c'est un ultra classique.
Déjà, en facile, est-ce que tu sais montrer que $G$ est commutatif ?
Ensuite pour répondre à ta question, en notant $n=\lvert G\rvert$ et $e$ l'élément neutre de $G$ : 1) On note $\Z/2\Z:=\{\overline{0},\overline{1}\}$. Montre que l'application $\star$ définie sur $(\Z/2\Z)\times G$ par $\overline{0}\star x=e$ et $\overline{1}\star x=x$ pour tout $x\in G$, munie $G$ d'une structure d'espace vectoriel (dont le corps est donc ici $\Z/2\Z$). 2) Pourquoi est-ce que $G$ (en tant que $\Z/2\Z$-espace vectoriel) est de dimension finie ? 3) En déduire qu'il existe $p\in\N$ tel que $n=2^p$.
PS : il s'agit d'un des rares cas où l'on utilise la définition d'un espace vectoriel.
EDIT : j'ai été grillé et je me rends compte que j'ai sûrement trop détaillé. Je laisse quand même. EDIT bis : 3) corrigé grâce à GaBuZoMeu.
Merci pour les informations, mais cet exercice a été donné en oral de Mines Ponts en 2 021, il est donc faisable avec les connaissances de prépa. Il me semble que vous parlez de notions de niveau supérieur non ? Je n'ai rien compris à vos indications (il y a des choses dont je n'ai jamais entendu parler) pourtant je connais assez bien le cours de prépa sur les groupes... Je n'ai jamais entendu parler de théorème de structure dans le cours de prépa, ou de $\Z / 2 \Z$ espace vectoriel.
@topopot ok mais j'ai du mal à comprendre d'où sort cette application et le $\Z /2 \Z$.
Les résultats que je connais sur les groupes finis : Soit $G$ un groupe et $a \in G$. L'ordre de $a$ est le plus petit entier tel que $a^n=e$. $a$ est d'ordre fini si et seulement si le sous-groupe engendré par $a$ est fini et l'ordre $p$ de $a$ est le cardinal de ce sous-groupe. Dans un groupe fini, tout élément est d'ordre fini. L'ordre de tout élément d'un groupe fini $G$ divise le cardinal de $G$. Tout groupe cyclique de cardinal $n \in \N^{*}$ est isomorphe à $\Z / n \Z$.
Je n'ai pas compris ce que signifie donner à un groupe une structure d'espace vectoriel. Ce n'est pas niveau prépa...je n'ai jamais vu ça dans un cours de prépa. Pourtant c'est que mines ponts j'ai compris plein de corrigés de x ENS.
Ben, toute astuce est trouvable, puisque quelqu’un l’a trouvée. Mais bon, ce n’est pas grave de ne pas trouver une astuce. Sais-tu ce qu’est un espace vectoriel ?
Je n'ai pas compris ce que signifie donner à un groupe une structure d'espace vectoriel. Ce n'est pas niveau prépa...je n'ai jamais vu ça dans un cours de prépa.
Tiens, il existe au moins un cours de niveau prépa dans lequel figure ce que tu cherches. A noter que "niveau prépa" est ici synonyme de "à la portée d'un élève en classe prépa un peu dégourdi et qui ne s'interdit pas, voire apprécie quelques excursions difficiles", de même qu'il existe des sportifs attirés par la difficulté du GR20 en Corse. https://cpge-paradise.com/MP4Math/Cours/Chap 19 Groupes.pdf (voir à la page 16) https://cpge-paradise.com/MP4Math/provisoire/Groupes.pdf
Un vieux souvenir de mon année de prépa agreg 89-90... 6 heures de devoir un samedi après midi dans le cadre de la préparation. Le principe est simple : si on n'a pas les idées il faut avoir une bonne mémoire avant qu'elle parte en vrac ou pas...
Retenu pour moi à l'époque : les groupes finis dont tous les éléments sont d'ordre 2 sauf... forment un $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ espace vectoriel.
Le théorème de Cauchy est hors-programme... Ils attendent une autre démonstration lors des oraux avec les outils du programme. JLapin l'écriture est illisible. C'est incompréhensible. Un espace vectoriel c'est très long à redéfinir...
On peut procéder par récurrence sur l'ordre du groupe, si l'on connaît le théorème de Lagrange sur les groupes quotients (après avoir montré que le groupe en question est abélien).
J’avoue qu’en restant strictement dans le programme, je ne vois pas de manière simple de faire cet exercice. Habituellement, je procédais comme Poirot (l’hypothèse de récurrence peut bien perturber les étudiants ), mais la structure de groupe quotient n’est pas au programme non plus.
Le plus simple est sûrement de construire par récurrence une famille libre de $G$ de taille $k$ et d’énumérer les $2^k$ éléments que l’on peut engendrer. On cache la structure d’espace vectoriel sur un corps fini de cette manière.
Donc tu n'es intéressé par aucune solution à la limite du programme que les intervenants te proposent ? Drôle de façon de vouloir progresser en mathématiques !
Pour préciser mon idée : on pose $G_0=\{e\}$, puis pour tout $k\in\N$, si $G_k$ n’est pas égal à $G$, on pose $G_{k+1} = G_k \cup g_k G_k$ où $g_k\in G\setminus G_k$.
On vérifie facilement pour tout $k\leq\ln_2(|G|)$ que chaque $G_k$ est un sous-groupe de $G$ de cardinal $2^k$.
Ne laissons pas mariner OS pour montrer que. $G$ est un groupe abélien, puisque même ça est trop difficile pour lui.
Soient $a,b \in G\setminus\{e\}$, où $e$ est le neutre de $G$. S'ils sont inverses, alors $ab=ba=e$. Sinon: $abab=e$ car $ab$ est d'ordre $2$ et $abba=e$ car $a$ et $b$ sont d'ordre $2$. Alors $abab=abba$ et en simplifiant à gauche par $ab$, on obtient $ab=ba$.
Je n'ai pas vérifié, je demande aux profs de prépa MP qui ont un peu de bouteille : quand on introduit la structure d'espace vectoriel en prépa, le programme demande-t-il explicitement de se limiter à certains corps ? Le fait que $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ soit un corps est-il exigible ?
"$\Z/n\Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier" est effectivement une compétence exigible des élèves de MP.
En revanche, pour les espaces vectoriels (et les anneaux de polynômes également), le corps de base est censé être $\R$ ou $\C$ (ou éventuellement un sous-corps de $\C$).
Je ne doute pas, cependant, que les meilleures classes abordent des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels avec des corps finis (voire des polynômes sur des corps finis, même s'ils sont explicitement cités comme hors programme).
Le programme entrant en vigueur à la rentrée prochaine est un petit peu plus permissif :
Sans soulever de difficulté, on signale que les notions d’algèbre linéaire étudiées en première année s’étendent au cas d’un corps de base quelconque. Pour éviter les difficultés liées aux polynômes en caractéristique non nulle, la section est traité (sic) sous l’hypothèse que K est un sous-corps de C.
De souvenir, les définitions d'ev, de polynômes et de matrices étaient données sur un corps $\mathbb{K}$ quelconque en MP, pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ en PC/PSI. Un exemple simple qui me remonte en tête est la définition du polynôme caractéristique : $\chi_M = \vert XI_n - M \vert$ qui demande de mettre une indéterminée dans une matrice : on nous expliquait alors que cette opération avait un sens du fait que $XI_n-M$ est une matrice à coefficients dans $\mathbb{K}(X)$.
Toutefois, même s'il fallait faire gaffe parfois (formule de Taylor en caractéristique non nulle, etc.), on n'insistait pas non plus trop sur le cas de la caractéristique non nulle.
1) montrer que $G$ est abélien en faisant un cc (copié-collé ) de Rescassol 2) Montrer par récurrence sur l'ordre de $G$ que $|G|$ est une puissance de 2 en considérant un sous-groupe strict maximal.
PS. je pense que la 1) ne devrait pas te poser de problèmes.
Et les groupes abéliens, c'est un mouvement musical, ce sont les groupes qui s'inspirent du groupe Abba. Il faut s'intéresser à la musique disco pour savoir faire cet exercice. Les moins de 50 ans ne peuvent pas y arriver.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Les méthodes de MRJ Raoul.S et gai requin me semblent compréhensibles et n'utilisent pas de notions que je ne connais pas. À moi de me mettre au travail et d'essayer de faire ces 3 méthodes.
Pour la structure de $\Z/2\Z$-espace vectoriel, une fois qu'on a montré par la méthode abba de Rescassol que $G$ est abélien, on voit mieux les choses en écrivant additivement la loi de groupe de $G$. Le groupe $(G,+)$ est un groupe abélien tel que $a+a=0$ pour tout $a\in G$. On définit la structure de $\Z/2\Z$-espace vectoriel par : pour tout $(\lambda,a)\in \Z/2\Z\times G$, $\lambda\cdot a = 0$ si $\lambda=0$, $\lambda\cdot a = a$ si $\lambda=1$.
Il y a un zest plus court: $baba=e$ on multiplie par $b$ à gauche, puis par $a$ à droite: $ab=ba$. (Pour rappel Oshine, dans ce groupe tout carré est égal au neutre).
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
Je n'ai pas compris la remarque de @JLT avec la loi de groupe. J'ai l'impression que tu parles chinois. Je ne comprends pas trop pourquoi on doit montrer que $G$ est commutatif. Je n'ai pas compris la solution de @Rescassol pour montrer que le groupe est abélien. @soc et @bisam pas compris non plus votre solution. Je n'ai pas réussi à montrer que le groupe est abélien. Je pose $G=\{ g_1, \cdots, g_n \}$ avec $n = card \ G$. $\forall i \in [|1,n|] $ il existe un $1 \leq m_i \leq 2$ tel que $g_i ^{m_i}=1$. Soient $x$ et $y$ dans $G$. Si $x$ ou $y$ est l'élément neutre du groupe, alors on a évidemment $xy=yx$. Si ni $x=g_i$ ni $y=g_j$ sont l'élément neutre alors il existe $(i,j) \in [|1,2|]^2$ tels que $1=g_i ^{m_i}$ et $1=g_j ^{m_j}$. Après je ne vois pas.
Un espace vectoriel est par définition un groupe abélien muni d'une loi externe (si tu ne le sais pas, revois la définition). Rescassol a montré que $G$ est un groupe abélien, et mon message indique quelle est la loi externe.
Au point où on en est je pense qu'avant de regarder la preuve de Rescassol, OShine devrait d'abord se rendre compte que pour tout élément $g$ dans $G$, $g^2=1$, car ce n'est pas dit dans l'énoncé...
@JLT je sais mais je n'ai pas compris l'histoire de la structure de $\Z /2 \Z$ espace vectoriel et d'où sortent les $\lambda a = 0 $ si $\lambda=0$ et $\lambda a=1$ si $\lambda =1$ ni quel est le rapport avec l'exercice. En plus, il y a 4 égalités à vérifier pour la loi externe dans un espace vectoriel.
Si $E$ est un espace vectoriel alors $(E,+)$ est un groupe abélien, je suis d'accord.
@raoul.S ok j'ai compris pourquoi $\forall g \in G \ g^2=1$. Si $g$ est d'ordre $1$ alors $g=1$ donc $g^2 = 1 \times 1=1$. Si $g$ est d'ordre $2$, alors $g^2=1$ par définition. Dans tous les cas, $\boxed{\forall g \in G \ g^2=1}$.
@JLT je sais mais je n'ai pas compris l'histoire de la structure de $\Z /2 \Z$ espace vectoriel et d'où sortent les $\lambda a = 0 $ si $\lambda=0$ et $\lambda a=a$ si $\lambda =1$ ni quel est le rapport avec l'exercice. En plus, il y a 4 égalités à vérifier pour la loi externe dans un espace vectoriel.
$\lambda a = 0 $ si $\lambda=0$ et $\lambda a=a$ si $\lambda =1$ c'est moi qui le définis pour définir une loi externe.
Pour les 4 égalités à vérifier, fais-le toi-même, c'est à ta portée.
Réponses
Déjà, en facile, est-ce que tu sais montrer que $G$ est commutatif ?
Ensuite pour répondre à ta question, en notant $n=\lvert G\rvert$ et $e$ l'élément neutre de $G$ :
1) On note $\Z/2\Z:=\{\overline{0},\overline{1}\}$. Montre que l'application $\star$ définie sur $(\Z/2\Z)\times G$ par $\overline{0}\star x=e$ et $\overline{1}\star x=x$ pour tout $x\in G$, munie $G$ d'une structure d'espace vectoriel (dont le corps est donc ici $\Z/2\Z$).
2) Pourquoi est-ce que $G$ (en tant que $\Z/2\Z$-espace vectoriel) est de dimension finie ?
3) En déduire qu'il existe $p\in\N$ tel que $n=2^p$.
PS : il s'agit d'un des rares cas où l'on utilise la définition d'un espace vectoriel.
EDIT : j'ai été grillé et je me rends compte que j'ai sûrement trop détaillé. Je laisse quand même.
EDIT bis : 3) corrigé grâce à GaBuZoMeu.
Il me semble que vous parlez de notions de niveau supérieur non ? Je n'ai rien compris à vos indications (il y a des choses dont je n'ai jamais entendu parler) pourtant je connais assez bien le cours de prépa sur les groupes...
Je n'ai jamais entendu parler de théorème de structure dans le cours de prépa, ou de $\Z / 2 \Z$ espace vectoriel.
Les résultats que je connais sur les groupes finis :
Soit $G$ un groupe et $a \in G$. L'ordre de $a$ est le plus petit entier tel que $a^n=e$.
$a$ est d'ordre fini si et seulement si le sous-groupe engendré par $a$ est fini et l'ordre $p$ de $a$ est le cardinal de ce sous-groupe.
Dans un groupe fini, tout élément est d'ordre fini.
L'ordre de tout élément d'un groupe fini $G$ divise le cardinal de $G$.
Tout groupe cyclique de cardinal $n \in \N^{*}$ est isomorphe à $\Z / n \Z$.
Ce n'est pas niveau prépa...je n'ai jamais vu ça dans un cours de prépa.
Pourtant c'est que mines ponts j'ai compris plein de corrigés de x ENS.
https://cpge-paradise.com/MP4Math/Cours/Chap 19 Groupes.pdf (voir à la page 16)
https://cpge-paradise.com/MP4Math/provisoire/Groupes.pdf
Un vieux souvenir de mon année de prépa agreg 89-90... 6 heures de devoir un samedi après midi dans le cadre de la préparation. Le principe est simple : si on n'a pas les idées il faut avoir une bonne mémoire avant qu'elle parte en vrac ou pas...
Retenu pour moi à l'époque : les groupes finis dont tous les éléments sont d'ordre 2 sauf... forment un $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ espace vectoriel.
Jean-éric
JLapin l'écriture est illisible. C'est incompréhensible.
Un espace vectoriel c'est très long à redéfinir...
Le plus simple est sûrement de construire par récurrence une famille libre de $G$ de taille $k$ et d’énumérer les $2^k$ éléments que l’on peut engendrer. On cache la structure d’espace vectoriel sur un corps fini de cette manière.
Drôle de façon de vouloir progresser en mathématiques !
On vérifie facilement pour tout $k\leq\ln_2(|G|)$ que chaque $G_k$ est un sous-groupe de $G$ de cardinal $2^k$.
S'ils sont inverses, alors $ab=ba=e$.
Sinon: $abab=e$ car $ab$ est d'ordre $2$ et $abba=e$ car $a$ et $b$ sont d'ordre $2$.
Alors $abab=abba$ et en simplifiant à gauche par $ab$, on obtient $ab=ba$.
Cordialement,
Rescassol
1) montrer que $G$ est abélien en faisant un cc (copié-collé
2) Montrer par récurrence sur l'ordre de $G$ que $|G|$ est une puissance de 2 en considérant un sous-groupe strict maximal.
PS. je pense que la 1) ne devrait pas te poser de problèmes.
Construire un isomorphisme $((\Z/2\Z)^n,+)\to G$.
À moi de me mettre au travail et d'essayer de faire ces 3 méthodes.
(Un peu en retard...)
(Pour rappel Oshine, dans ce groupe tout carré est égal au neutre).
Une chanson de circonstance :
Je ne comprends pas trop pourquoi on doit montrer que $G$ est commutatif.
Je n'ai pas compris la solution de @Rescassol pour montrer que le groupe est abélien.
@soc et @bisam pas compris non plus votre solution.
Je n'ai pas réussi à montrer que le groupe est abélien.
Je pose $G=\{ g_1, \cdots, g_n \}$ avec $n = card \ G$. $\forall i \in [|1,n|] $ il existe un $1 \leq m_i \leq 2$ tel que $g_i ^{m_i}=1$.
Soient $x$ et $y$ dans $G$. Si $x$ ou $y$ est l'élément neutre du groupe, alors on a évidemment $xy=yx$.
Si ni $x=g_i$ ni $y=g_j$ sont l'élément neutre alors il existe $(i,j) \in [|1,2|]^2$ tels que $1=g_i ^{m_i}$ et $1=g_j ^{m_j}$.
Après je ne vois pas.
En plus, il y a 4 égalités à vérifier pour la loi externe dans un espace vectoriel.
Si $E$ est un espace vectoriel alors $(E,+)$ est un groupe abélien, je suis d'accord.
@raoul.S ok j'ai compris pourquoi $\forall g \in G \ g^2=1$. Si $g$ est d'ordre $1$ alors $g=1$ donc $g^2 = 1 \times 1=1$. Si $g$ est d'ordre $2$, alors $g^2=1$ par définition. Dans tous les cas, $\boxed{\forall g \in G \ g^2=1}$.