Nombre de matchs possibles

Nivlem · June 2022

Bonjour,
pourriez-vous m'aider à comprendre la correction d'un exercice s'il vous plait ? (8ème exercice à cette page : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mpsi/feuillesexo/espaceproba&type=fexo ).

On a n équipes de ligue 1 et n équipes de ligue 2. Sachant que les matchs sont tirés au hasard parmi les 2n équipes, on veut déterminer la probabilité que tous les matchs opposent une équipe de ligue 1 à une équipe de ligue 2. La correction propose de compter le nombre de tirages possibles et le nombre de tirages qui remplissent la condition, mais il y a deux choses que je ne comprends pas :

Comment passe-t-on de $\binom{2n}{2} \times \binom{2n-2}{2} \times \cdots \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2}$ à $\frac{(2n)!}{2^n}$ (pour le nombre de tirages total).
Il est dit que cette formule comptabilise les cas AB-CD et CD-AB comme 2 cas distincts. Pourquoi ? Et comment faudrait-il la modifier pour que ce ne soit pas le cas ? (Ce n'est pas utile pour l'exercice en question, mais j'aimerais vraiment comprendre).

Merci beaucoup.

Poirot · June 2022

1. Il suffit de se rappeler que $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ et de faire le produit.

2. C'est dans le comptage effectué que l'on prend en compte l'ordre. Si je choisis le premier match AB, et que je considère qu'il ne me reste que $\binom{2n-2}{2}$ choix possibles derrière, c'est parce que je ne peux plus tirer $A$ ou $B$ dans ma composition de deuxième match. Pour "oublier l'ordre" d'un ensemble à $n$ éléments, il suffit de diviser par le nombre de permutations de l'ensemble considéré, en l'occurrence, $n!$.

lourrran · June 2022

Pour ta 1ère question. Réécrivons $(a,b)$ dans le cas particulier où $b=2$ : $(a,b)= \dfrac{a(a-1)}{2}$
Et du coup, le résultat apparaît évident.

Question 2 : Pourquoi il y a des 'doubles-comptes' dans ce calcul... Relis le corrigé. On a $(2n,2)$ façons de choisir le premier match. Ce premier match peut être AB, ou bien CD ou bien plein d'autres choix.
Et pour chacune des $(2n,2)$ combinaisons, on a encore $(2n-2,2)$ combinaisons pour le choix du 2ème match.
Si le premier match était AB, le 2ème match peut être CD, et si le premier match était CD, le 2ème peut être AB.
On a donc compté AB puis CD, et aussi CD puis AB.

Pour éviter ces doubles-comptes, on pourrait s'imposer que le premier match fasse intervenir l'équipe A. On aurait donc seulement $2n-1$ options, pour choisir l'adversaire de l'équipe A.
Pour le 2ème match, on impose que ce 2ème match fasse intervenir l'équipe B, sauf si B joue déjà contre A, et dans ce cas, on impose l'équipe C.
Et donc on aurait $2n-3$ options pour ce 2ème match.
etc etc