Un cercle passant par le centre d'un cercle

% Jean-Louis Ayme - 06 Juin 2022 - Un cercle passant par le centre d'un cercle
% 1. ABC       un triangle
% 2. DEF       le triangle orthique
% 3. 1         le cercle d'Euler de ABC
% 4. T         un point de 1
% 5. D'        le symétrique de D par rapport à (AT)
% 6. P         le point d'intersection (EF) et  (D'T)
% 7. 2, 3      les cercles circonscrits aux triangles APD, PTD
% 8. Oa        le centre de 2.
% 
% Question : 3 passe par Oa.

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syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

% Pieds des hauteurs du triangle ABC (triangle orthique)

d=(s1*a-b*c)/(2*a); e=(s1*b-c*a)/(2*b); f=(s1*c-a*b)/(2*c);
dB=(s1B*aB-bB*cB)/(2*aB); eB=(s1B*bB-cB*aB)/(2*bB); fB=(s1B*cB-aB*bB)/(2*cB);

% Centre du cercle d'Euler

om=s1/2; omB=s1B/2;

syms u;

uB=1/u; % Un nombre complexe de module 1

t=om+u/2; tB=omB+uB/2; % Un point T du cercle d'Euler

% Point D' symétrique de D par rapport à (AT)

[dp dpB]=SymetriquePointDroite(d,a,t,dB,aB,tB);

% Point d'intersection P des droites (EF) et (D'T)

[pef qef ref]=DroiteDeuxPoints(e,f,eB,fB);
[pdpt qdpt rdpt]=DroiteDeuxPoints(dp,t,dpB,tB);
[p pB]=IntersectionDeuxDroites(pef,qef,ref,pdpt,qdpt,rdpt);

% Centre et carré du rayon du cercle passant par A, P, D

[oa oaB Ra2]=CercleTroisPoints(a,p,d,aB,pB,dB);

% P, T, D, Oa sont cocycliques

Bi=Birapport(p,t,d,oa);
BiB=Birapport(pB,tB,dB,oaB);

Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné