Reste d'une série et équivalent
Bonjour
J'ai quelques difficultés avec cette exercice et surtout la première question. La deuxième me semble facile, un simple calcul de DL et d'équivalents.
Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels tendant vers $0$ telle que : $u_n -u_{n+1} \sim u_{n+1}-u_{n+2}$.
1) Montrer que $r_n = \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} (-1)^p u_p \sim \dfrac{ (-1)^n u_n}{2}$.
2) Application : déterminer un équivalent de $r_n = \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{ \ln k}{k}$.
J'ai quelques difficultés avec cette exercice et surtout la première question. La deuxième me semble facile, un simple calcul de DL et d'équivalents.
Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels tendant vers $0$ telle que : $u_n -u_{n+1} \sim u_{n+1}-u_{n+2}$.
1) Montrer que $r_n = \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} (-1)^p u_p \sim \dfrac{ (-1)^n u_n}{2}$.
2) Application : déterminer un équivalent de $r_n = \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{ \ln k}{k}$.
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Réponses
Tu utilises le résultat à démontrer dans la 1ère, et tu fais la 2ème question.
Systématiquement, tu dis ça : la 2ème question paraît plus facile. Les types qui font les exercices doivent être particulièrement nuls, parce qu'ils essaient généralement de faire l'inverse.
On pose $u_k = \dfrac{ \ln k}{k}$. La suite $u$ est décroissante et tend vers $0$ par croissances comparées.
On a : $u_n -u_{n+1} = \dfrac{ \ln n}{n} - \dfrac{ \ln n + \ln (1+1/n)}{n+1} = \dfrac{\ln n -n \ln (1+1/n)}{n(n+1)}$
Comme $\ln (1+x) \sim x$ on a : $\boxed{u_n -u_{n+1} \sim \dfrac{- 1}{n^2} }$
De plus : $u_{n+1} -u_{n+2} = \dfrac{ \ln n+ \ln (1+1/n)}{n+1} - \dfrac{ \ln n + \ln (1+2/n)}{n+2} = \dfrac{\ln n +(n+2) \ln (1+1/n)- (n+1) \ln (1+2/n)}{(n+1)(n+2)} $
Donc $u_{n+1} -u_{n+2} \sim \dfrac{(n+2) \ln (1+1/n)- (n+1) \ln (1+2/n)}{(n+1)(n+2)} $
Or $(n+2) \ln (1+1/n)- (n+1) \ln (1+2/n) = (n+2) (1/n + o(1/n) ) -(n+1) ( 2/n + o(1/n) ) = -1 + o(1)$
Ainsi $\boxed{u_{n+1} -u_{n+2} \sim \dfrac{-1}{n^2} }$
Par transitivité de la relation d'équivalence on a finalement $\boxed{u_n -u_{n+1} \sim u_{n+1} -u_{n+2} }$.
Ainsi, $\boxed{\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k \dfrac{ \ln k}{k} \sim \dfrac{ (-1)^n \ln n}{2n} }$.
puisque tu juges "facile" un DL sur lequel tu te plantes royalement.
Si je distingue les cas pair et impair. Soit $N \geq 2n +1$. On s'intéresse à la somme partielle : $A_n=\displaystyle\sum_{k=2n}^{2n+2N+1} (-1)^k u_k$ .
Si $2n \leq 2p \leq 2n+2N+1$ alors $n \leq p \leq n+N$. Si $2n \leq 2p+1 \leq 2n+2N+1$ alors $n \leq p \leq n+N$
Donc $A_n = \displaystyle\sum_{p=n}^{n+N} (u_{2p}-u_{2p+1} )$. Ainsi en passant à la limite : $\boxed{r_{2n} = \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} (u_{2p}-u_{2p+1} )}$
On s'intéresse à la somme partielle : $B_n=\displaystyle\sum_{k=2n+1}^{2n+2N+2} (-1)^k u_k$ .
Si $2n+1 \leq 2q+1 \leq 2n+2N+2$ alors $n \leq q \leq n+N$. Si $2n+1 \leq 2q+2 \leq 2n+2N+2$ alors $n \leq p \leq n+N$
Donc $A_n =- \displaystyle\sum_{p=n}^{n+N} (u_{2p+1}-u_{2p+2} )$. Ainsi en passant à la limite : $\boxed{r_{2n+1} = -\displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} (u_{2p+1}-u_{2p+2} )}$
$(r_n)$ étant convergente, les sous-suites $(r_{2n}) $ et $(r_{2n+1})$ sont convergentes et d'après la sommation de relations d'équivalents on en déduit : $\boxed{r_{2n} \sim - r_{2n+1}}$
Mais $r_{2n} = \displaystyle\sum_{p=n}^{+\infty} (-u_{2p+1} +u_{2p+2} ) + (u_{2p}- u_{2p+2} ) = r_{2n+1} +u_{2n}$ car $u$ tend vers $0$ en plus l'infinie.
Donc $u_{2n} = 2 r_{2n} + o( r_{2n})$. Ainsi $\boxed{r_{2n} \sim \dfrac{ u_{2n}}{2}}$ .
Mais on sait que $ r_{2n+1} \sim -r_{2n} \sim -\dfrac{ u_{2n}}{2}$. On a montré $\boxed{r_{2n+1} \sim \dfrac{ - u_{2n}}{2}}$ .
[Il faut mettre tout ce qu'il y a entre \begin{align} et end{align} sur la même ligne. AD]