Oral Mines Ponts 2018 séries

Réfléchis, $\ln(n)$ tend vers $+\infty$ donc est-ce que $\cos(\ln(n))$ peut être de signe constant APCR ? Ce n'est pas si évident à démontrer par contre mais regarder une courbe ne va pas t'aider : on a l'impression que $\ln$ est constant APCR tellement sa croissance est lente.

On doit même pouvoir montrer que $(\cos(\ln(n))_n$ est dense dans $[-1,1]$.

Peux-tu réécrire le critère spécial des séries alternées ?

Je pense vraiment que Oshine sous entendait "|f(n)| décroissante avec f(n) signe non constant" même si c'était pas clair

On est toujours sur '''analyser la nature de la série $\Sigma u_n$ ''' ? 

Apcr=? 

Thanks a lot, sir. 

Pour cette série $\Sigma u_n$, la première chose à faire, c'est '''deviner''' ce qu'on veut démontrer.

Si l'énoncé disait : démontrer que cette série converge, on saurait quels outils on a à disposition. 
Si l'énoncé disait : démontrer que cette série diverge ...pareil.

Là c'est à nous de deviner si on est dans le cas 1 ou le cas 2.   Et une fois qu'on a deviné on a fait la moitié du boulot.

Alors, converge ou diverge ? Et ce n'est pas pile ou face ; à ce niveau, une vague argumentation au doigt mouillé convient.

Les corrigés, ils zappent systématiquement cette étape. Le type qui rédige le corrigé, il n'explique pas tout ce qu'il a griffonné au brouillon, tout ce qu'il a cogité dans sa tête avant de rédiger sa réponse.
Dans la vraie vie, l'étudiant réfléchit. Il tente des trucs, il tombe sur des impasses, et sur des résultats intermédiaires plus ou moins utiles.
Et à un moment, il se dit... bon , la suite à l'air de converger (respectivement diverger), et je vais maintenant montrer ce résultat. Et je vais utiliser des théorèmes adéquats.

Dans les corrigés, on ne voit pas un mot sur toute cette étape là de recherche, la seule qui soit vraiment intéressante. Celle qu'OShine ne fait jamais.

Ici, on se dit quoi ... on se dit que  pour tout réel $x$, $ln(x*e^{\pi})=ln(x)+ln(e^{\pi}) = ln(x)+\pi$
On se dit que  $ cos ( ln(x *e^{\pi}) )= - cos (  ln(x) ) $
Et si $x_0$ est bien choisi, $cos ( ln(x) )$ est positif sur  l'intervalle $]x0 , x_0 * e^{\pi} [$  puis négatif sur $] x_0 * e^{\pi} ; x_0 * e^{2\pi} [$
Donc,  pour visualiser, il y a un intervalle du genre $]100; 2000[$ sur lequel cette fonction est positive , et dans la foulée, un intervalle $]2000, 40000[$ sur lequel elle est négative. 

Et en plus de ça, c'est un cosinus, donc on est entre $-1$ et $1$.
Un truc de ce genre.  Je préfère écrire $]100, 2000[$ que des valeurs exactes, parce que je n'ai pas besoin d'avoir les valeurs exactes , j'ai besoin de voir des grandes tendances.

Ca tombe bien, j'ai fait un exercice il y a une semaine qui ressemblait, un truc où j'avais des intervalles successifs, où la fonction était de signe constant, un truc avec des parties entières de $e^n$ ... souvenons-nous de ce qu'on a appris en faisant cet exercice.

Ici, quand on multiplie tout ça par $\frac{(-1)^n}{n}$, on aurait donc une série alternée entre 100 et 2000, puis un petit hoquet, 2 termes consécutifs de même signe, et hop, on part sur une série alternée de 2000 à 40000. etc etc. Je ne peux pas appliquer le cours sur les séries alternées, parce qu'elle n'est pas alternée... et  surtout $|u_n|$ n'est pas décroissante .

Bon, elle a l'air de converger, ou de diverger, cette série ? Et si elle diverge, elle tend vers l'infini, ou elle a un autre comportement ?

Je n'explique pas comment trouver ce $x_0$ : oui.
Et je n'explique pas pourquoi ce serait positif sur l'intervalle que je donne : oui.

Tu dis que tu maîtrises le niveau lycée. 
Donc tu devrais savoir répondre à ces 2 points en moins de 15 secondes.

Visiblement, tu n'as même pas essayé de dessiner/gribouiller la courbe d'équation $y = f(x)$, sinon tu ne ferais pas ces 2 remarques.

Niveau prise d'initiative : L'élève OShine ne prend aucune initiative, il reste bouche bée devant sa feuille blanche. Le niveau est proche de $- \infty$ .
Sa seule initiative est de demander, demander le corrigé, ou demander la réponse sur de multiples forums. Pour lui, le verbe chercher signifie uniquement Chercher sur internet. Il a totalement oublié le sens premier du verbe chercher.

Tu as eu besoin de géogébra pour représenter cette fonction. Bon. Ok, encore une déception. Et j'imagine même que tu l'as dessinée sur un intervalle ]0,10[, ou un truc du genre, et pas sur ]10000, 10000000[

Je m'intéresse à cette fonction uniquement pour des valeurs de x suffisamment grandes ... on se moque de son comportement près de 0 par exemple.
La fonction cos(x), on la connaît très bien.
La fonction cos(ln(x)), on la déduit assez facilement : c'est comme la fonction cos(x), sauf que les arches sont de plus en plus grandes, très grandes mêmes.
Tu n'as probablement jamais tracé de courbe avec une échelle logarithmique,  ce serait une belle occasion pour commencer.
Ensuite, cette courbe avec des arches de plus en plus grandes, on la multiplie par 1/x, c'est-à-dire que plus x est élevé, plus on réduit la hauteur.
Normalement, quand tu fais cet exercice, tu lis l'énoncé, et tu vois par transparence ce dessin. On te parle d'une fonction f(x) = cos(ln(x)) / x , peu importe les questions qu'on va te poser derrière, tu marques un temps d'arrêt, et tu fais un vague dessin de cette fonction. 
Et ensuite, tu reprends la lecture de l'énoncé.
Seuls les types extrêmement brillants peuvent se passer d'un support plus ou moins concret. Et toi, tu te lances dans des exos, en n'essayant même pas de te créer ce support plus ou moins concret.  Le kamikaze qui va au feu, sans aucune protection, aucun support.
Bien entendu, le corrigé ne parle pas de cette courbe, il ne dit pas comment on fait pour avoir les bonnes idées... toutes les étapes qu'on fait au brouillon, il n'en parle pas, il ne présente que la synthèse finale, celle qu'on met sur la copie qu'on va rendre au correcteur.

Ben $\ln$ croit plus lentement que l'identité donc pour atteindre le zéro suivant de $\cos$, il faut plus de distance. 
Sinon, résous $\cos(\ln(x))=0$ et montre que l'ensemble des solutions peut s'écrire comme une suite $x_n$ avec $\lim_n x_{n+1}-x_n=+\infty$ 

Donc tu assumes que tu ne sais pas trouver les zéros de cosinus ? Allez, va dormir ! Ou modifie ton message si tu n’assumes pas. Comme ça, c’est moi qui aura l’air en tort auprès des futurs lecteurs.