Complétude de $(\mathcal{C}^{2\pi},\Vert \cdot\Vert_\infty)$
Bonjour,
pour montrer que $(\mathcal{C}^{2\pi},\Vert \cdot\Vert_\infty)$ est complet, Gourdon invoque le fait que c'est un fermé de l'ensemble des fonctions continues bornées de $\R$ dans $\C$.
Mais, est-ce correct de faire le raisonnement suivant ?
On considère $(f_n)$ une suite de Cauchy de $(\mathcal{C}^{2\pi},\Vert \cdot\Vert_\infty)$, alors $(f_n(x))$ est de Cauchy sur $\R$ donc converge vers $f(x)$.
Puis, en reprenant la définition, on a que $f_n$ converge uniformément vers $f$, donc $f$ est continue comme limite uniforme.
En enfin, par passage à la limite dans $f_n(x+2\pi)=f_n(x)$, on a que $f$ est $2\pi$ périodique.
pour montrer que $(\mathcal{C}^{2\pi},\Vert \cdot\Vert_\infty)$ est complet, Gourdon invoque le fait que c'est un fermé de l'ensemble des fonctions continues bornées de $\R$ dans $\C$.
Mais, est-ce correct de faire le raisonnement suivant ?
On considère $(f_n)$ une suite de Cauchy de $(\mathcal{C}^{2\pi},\Vert \cdot\Vert_\infty)$, alors $(f_n(x))$ est de Cauchy sur $\R$ donc converge vers $f(x)$.
Puis, en reprenant la définition, on a que $f_n$ converge uniformément vers $f$, donc $f$ est continue comme limite uniforme.
En enfin, par passage à la limite dans $f_n(x+2\pi)=f_n(x)$, on a que $f$ est $2\pi$ périodique.
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Réponses
Pour montrer que $f$ est bien limite de $f_n$, je ne l'ai pas détaillé, repars de la définition de la suite de Cauchy et fais tendre $q$ vers $\infty$, j'obtiens donc $\forall x,\ \forall p>N,\ \vert f_p(x)-f(x)\vert <\epsilon$ donc $\forall p>N,\ \Vert f_n-f\Vert_\infty <\epsilon$. C'est toujours faux ?
Mais puisqu'on en est dans les coquilles la correction de SkyMtn est elle aussi fausse : il n'y a pas d'indice n mais un indice p.
La plus intéressante quand on a affaire à des fonctions périodiques est celle utilisant le théorème de relèvement.
Ok j'ai recopié l'erreur de typographie, mais ça ne change rien à ma remarque. Quant au théorème de relèvement, l'utiliser dans ce contexte n'est pas nécessaire, ni même pertinent. On parle quand même d'un exercice de niveau L2 (au plus), ce qui signifie qu'il peut être traité avec des outils/techniques très très rudimentaires.