Théorème central limite

Soit X1, X2, … une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de probabilité, indépendantes et identiquement distribuées suivant la même loi D. Supposons que l'espérance μ et l'écart-type σ de D existent et soient finis avec σ ≠ 0.

Considérons la somme

Alors

• l'espérance de Sn est n μ et
• son écart-type vaut {\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}}

De plus, quand n est assez grand, la loi normale {\displaystyle {\mathcal {N}}(n\mu ,n\sigma ^{2})} est une bonne approximation de la loi de Sn.

Afin de formuler mathématiquement cette approximation, nous allons poser

{\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {S_{n}}{n}}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}}

et

{\displaystyle Z_{n}={\frac {\mathrm {S} _{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}},

de sorte que l'espérance et l'écart-type de Zn valent respectivement 0 et 1 : la variable est ainsi dite centrée et réduite.

Le théorème central limite énonce alors que la suite de variables aléatoires Z1, Z2, …, Zn, … converge en loi vers une variable aléatoire Z, définie sur le même espace probabilisé, et de loi normale centrée réduite {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} lorsque n tend vers l'infini.

Cela signifie que si Φ est la fonction de répartition de {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}, alors pour tout réel z :

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (Z_{n}\leq z)=\Phi (z)}

ou, de façon équivalente :

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left({\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z)}.