Homéomorphisme
Bonjour
Je galère un peu sur un exercice.
Soit (E,N) un espace vectoriel normé, S = {x ∈ E | N(x) = 1}. On munit E\{0} et S de la topologie induite par E.
Il s'agit de montrer que l'application (λ,x) -> λ.x est un homéomorphisme de R*+ × S sur E\{0}.
J'arrive à montrer assez facilement que l'application est bijective. Pour ce qui est de la continuité de la fonction réciproque, j'ai un début de quelque chose. On a en effet que si u_n = λ_n*x_n converge vers u = λ*x, x_n converge bien vers x dans S car S est fermé par contre je vois mal comment montrer que λ_n converge vers λ. Et pour la continuité de la fonction je vois mal comment m'y prendre également.
En vous remerciant.
Je galère un peu sur un exercice.
Soit (E,N) un espace vectoriel normé, S = {x ∈ E | N(x) = 1}. On munit E\{0} et S de la topologie induite par E.
Il s'agit de montrer que l'application (λ,x) -> λ.x est un homéomorphisme de R*+ × S sur E\{0}.
J'arrive à montrer assez facilement que l'application est bijective. Pour ce qui est de la continuité de la fonction réciproque, j'ai un début de quelque chose. On a en effet que si u_n = λ_n*x_n converge vers u = λ*x, x_n converge bien vers x dans S car S est fermé par contre je vois mal comment montrer que λ_n converge vers λ. Et pour la continuité de la fonction je vois mal comment m'y prendre également.
En vous remerciant.
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Réponses
2) La réciproque est continue car tu peux l'écrire explicitement : $x\mapsto (N(x), \frac{x}{N(x)})$
Edit : j'ai pas F5 la page et donc j'ai répondu en retard.