La géométrie différentielle, c'est difficile...

Positif · June 2022

Bonjour á à tous.

Le propos va peut être surprendre mais il n’existe pas de meilleur forum français pour en discuter. Pour énoncer le problème : j’en ai marre d’être une m*erde en maths et de végéter à un niveau L2-L3 d’ingé/bon préparationnaire. J’ai envie de lire un peu de maths avancées. On m’a fait grand cas de ce livre de F. Rouvière Initiation à la géométrie de Riemann et je l’ai acheté. Les deux premiers chapitres se lisent agréablement, le troisième est plus relevé et je pense que 50% du contenu est à relire en deuxième ou troisième lecture. Mais les deux derniers augmentent en difficultés, sensiblement.

Le cas des surfaces est censé nous avoir bien préparé aux variétés abstraites, mais les notions introduites :
- applications tangentes

- fibrés

- connexions

- trucs machins covariants

sont posées brutalement, je ne trouve pas cela “très naturel“ et le seul moyen que j’ai trouvé pour faire rentrer cela dans ma tête est d’écrire cela sur trois bouts de papier et de les scotcher dans mes toilettes, sur une fenêtre et sur mon frigo.

Est-ce que c’est juste moi qui suis débile ou est-ce que pour beaucoup la géométrie diff, c’est vraiment dur et qu’il faut s’y reprendre à plusieurs fois ? Je me rappelle que quand j’avais lu la moitié du Rudin, je relisais 10 fois un chapitre pour bien le comprendre. Dans la preuve de Riesz-Markov, j’avais passé une semaine dessus pour bien comprendre, 30 min chaque soir.

Je me demande si je dois adopter une approche similaire avec l’ouvrage de Rouvières. Relire le livre 10 fois, pour être certain de bien le maîtriser avant éventuellement de passer au Lafontaine ou Spivak (ou que sais-je). Je réalise aussi que c’est peut être “la meilleure” introduction au sujet et que si je dois me résigner à abandonner cela, je ferai une croix sur les maths et j’irai retourner des burgers.

Je précise que je suis “autodidacte”, j’ai fait prépa mais j’ai eu le malheur d’aller en école d’ingé et j’ai rien eu comme cours sur la géométrie. Oh, on est en France, qu’on ne s’imagine pas d’avoir un master de maths avec un bagage d’algèbre ou de géométrie surpassant la L2 tudieu !

Dom · June 2022

Le Rouvière contient des pépites.

Par contre je trouve qu’il porte très mal son nom.

Mais je peux me tromper.

Je le vois plutôt comme un recueil d’exercices avec plusieurs notes de l’auteur très pertinentes.

Mais absolument pas comme un guide, ni même en « calcul différentiel ».

Je ne suis pas en train de critiquer ce très bel ouvrage.

Je suis juste en train d’exprimer que je n’ai pas du tout compris ce livre. Malgré le fait que je le trouve génial.

Math Coss · June 2022

Et le titre pour commencer : PGCD !

Dom · June 2022

Haha.

C’est sur ce forum que j’ai appris qu’on l’appelait comme ça. Pour moi ça a toujours été « le Rouvière ».

Philippe Malot · June 2022

Salut @Dom,
Je pense que @Positif parle de l'Initiation à la géométrie de Riemann, pas du PGCD.

Bien que la préface semble dire que la connaissances de variétés différentielles ne soit pas nécessaire, le livre de François Rouvière n'est peut-être pas l'introduction idéale à la géométrie différentielle car les variétés riemanniennes sont un peu plus que de simples variétés différentielles.
La géométrie riemannienne est tout simplement une branche de la géométrie différentielle, donc tu es en train d'étudier un livre sur un sujet assez spécifique.

Sinon je te rassure, la géométrie différentielle est difficile pour tout le monde !
Peut-être qu'en persistant, tu arriveras à maîtriser complètement le livre de François Rouvière, ce n'est pas impossible.
D'ailleurs c'est ce que tu cherches apparemment ?
Il peut être intéressant d'avoir plusieurs livres sous la main pour voir différents points de vue.
Pour ma part j'ai beaucoup appris en lisant plusieurs livres sur le même sujet dans lesquels les notions étaient présentées parfois de façons différentes.
Après avoir travaillé sur l'un d'entre eux et être revenu sur un autre, je me suis rendu compte que je comprenais beaucoup mieux !
Le Spivak est une référence incontournable. Le livre de Jacques Lafontaine, je l'ai lu un peu il y a fort longtemps mais il ne m'a pas laissé un souvenir impérissable (je ne comprenais de toute façon pas bien la géométrie différentielle à l'époque).

Dom · June 2022

Ho oui ! Quelle bévue !!!
J’ai lu le message trop rapidement.

Désolé.

J’en profite pour rectifier l’orthographe : ROUVIÈRE
(j’avais ajouté un « S »).

math2 · June 2022

PGCD, je n'avais pas remarqué !!!

Homo Topi · June 2022

@Positif : j'ai fait la même expérience que toi avec la géométrie différentielle. Je ne connais pas le livre dont tu parles, mais c'est curieux : en effet, le "Petit guide de calcul différentiel" du même auteur est une absolue mine d'or pour travailler le calcul différentiel (même s'il nécessite quand même un "vrai cours" à part). Comme quoi, ce n'est pas parce qu'un auteur est très pédagogue sur un sujet qu'il l'est en général, ni même sur les sujets connexes...

Pour avoir subi un cours de géométrie différentielle (premier semestre de Master) et un cours de géométrie riemannienne (deuxième semestre), je suis d'accord avec @Philippe Malot. Autant, le cours de "géométrie différentielle", je l'ai bien compris, celui de géométrie riemannienne, laisse tomber. Le prof était mauvais et j'allais mal à l'époque, mais quand même. En relisant mes cahiers de ce cours, voilà l'impression que j'ai : on introduit beaucoup de concepts, tous liés entre eux, tous assez compliqués et nécessitant un temps d'appropriation, et on ne se prenait pas vraiment ce temps-là. Donc oui, normal que ce soit dur.

Personnellement, j'ai préféré me dire que je retravaillerai la géométrie riemannienne plus tard (j'ai d'autres choses à retravailler en priorité), en me prenant justement le temps de travailler chaque notion une par une, puisque c'est surtout ça qui me posait problème. C'est plus facile de voir les liens entre les notions et pourquoi on introduit tel truc à tel endroit quand on comprend ce que sont ces objets.

Positif · June 2022

Exactement, je parlais de ce livre :
https://www.goodreads.com/book/show/32720188-initiation-la-g-ometrie-de-riemann

Piteux_gore · June 2022

Bonjour,
La deuxième édition de PGCD se trouve sur archive.org.
A+

Homo Topi · June 2022

Simple question : tu dis que tu as fait une prépa et une école d'ingénieurs. Tu veux faire des mathématiques plus avancées... pourquoi as-tu choisi la géométrie riemannienne spécifiquement ? Tout le monde est d'accord que c'est à la fois intéressant mais très difficile, il y a peut-être plus abordable (lire : moins frustrant) comme extensions de ton domaine de connaissances en mathématiques.

Si tu veux vraiment faire de la géométrie riemannienne, as-tu déjà des bases en géométrie différentielle ? Comprends-tu les notions de sous-variété de $R^n$, de variété différentielle abstraite, de courbure, connais-tu les deux formes fondamentales d'une surface ? Si tu t'es lancé dans la géométrie riemannienne "proprement dite" sans avoir au moins une base de géométrie différentielle générale, c'est normal de galérer si tu veux mon avis. Moi, j'ai galéré en GR même avec des bases correctes en GD.

S'il y a d'autres champs des mathématiques (ou même de la géométrie en général) qui peuvent t'intéresser, parle-nous en.

M.Floquet · June 2022

J'ai appris pas mal de choses avec ces 3 pépites de Pierre Lecomte (en plus de son blog génial avec par exemple https://pierrelecomte.wordpress.com/2010/02/23/le-theoreme-de-rouche-fontene-la-ou-on-ne-lattendrait-peut-etre-pas/) : http://www.geothalg.ulg.ac.be/Courbes_Surfaces.pdf
http://www.geothalg.ulg.ac.be/Geodif_New.pdf

http://www.geothalg.ulg.ac.be/GD_Option_I.pdf

!

Positif · June 2022

@Homo_Topi

Si je parle de géométrie riemannienne, c'est parce que je m'en fous de savoir ce qu'est une surface "abstraite" avec des théorèmes “abstraits”. Je veux pouvoir mesurer des distances, des aires, des plus courts chemins. Mais si le saut vers le riemannien nécessite une compréhension profonde des joujous normaux, je suis prêt à consentir à ce sacrifice.

1 - oui je sais ce qu'est une sous-variété. C'est (au choix) :
* un graphe local
* l'ensemble des zéros d'une fonction $F(x, y, z, \cdots) = 0$ pourvu que $D F (x, y, z, \cdots ) $ non tous nuls
* une carte locale entre ton ouvert de $\mathbf{R}^n$ et un ouvert de $\mathbf{R}^p \times \{ 0, 0, 0, \cdots \} $

Et c'est surtout la deuxième étoile qui me sert en pratique j’ai l’impression. La première étoile semble vraiment utile dans le cas 3D.

Si tu demandes ce qui se cache sous ces équivalences, c'est le théorème des fonctions implicites, qui se démontre avec le théorème d'inversion locale, qui se démontre avec un argument de point fixe (version $\mathcal{C}^k$ lolilool ? Je n'ai trouvé nulle part une preuve de la version $\mathcal{C}^k$ du théorème, c'est introuvable)

2 - courbure : déterminant de l'application "normale". Si on paramétrise la surface comme un graphe local $(x, y, f(x, y) )$ alors on a une jolie forme pour l’expression de la courbure. Pour la seconde forme fondamentale j’ai oublié mais comme elle est extrinsèque on s’en moque non ?

Donc partant de ces connaissances basiques, je veux savoir ce que je dois faire pour pouvoir mesurer des surfaces. Si je dois réfléchir plus attentivement à la "GD" normale avant de faire de la "GR" pas de problèmes, j’accepte.

@Mr.Floquet : merci beaucoup je vais regarder cela. ---> www.youtube.com/watch?v=BVVfFS3mgc

Blueberry · June 2022

Tu devrais regarder le livre de prépa (années 70) tome 3 ''Géométrie'' de Lelong-Ferrand et Arnaudiès chez Dunod.

C'est extrêmement riche et pleins d'exemples et ça va assez loin. Le tome 4 fait même les intégrale de formes différentielles.

Magnéthorax · June 2022

Moi aussi, je suis passé à côté de la géométrie différentielle à la fac. Je revisite à tête reposée avec Introduction à la géométrie différentielle, V. Guedj, Dunod, 2022. Le livre est progressif, sobre et il y a des exercices. Riemann, c'est pour plus tard.

Positif · June 2022

Okay merci beaucoup pour les réf. Je vais y jeter un oeil. J'upperais ce topic dans un an pour vous faire savoir si je suis un lamentable midwit ou un éveillé 60 de lucidité qui peut voir les Amygdalas et comprendre la "GR". Merci beaucoup pour vos indications !

Voici pour vous récompenser :
www.youtube.com/watch?v=cDxzTKPq88&t=11s

Homo Topi · June 2022

Visiblement, les bases de la GD, tu les as vues. Si l'on te conseille des bouquins de GR suffisamment progressifs, tu devrais bien voir quelles notions te posent problème s'il y en a. Amuse-toi bien !

Dagothur · November 2022

Bonsoir,

Ça tombe bien, moi aussi je m'intéresse beaucoup à ce sujet en ce moment. J'ai plusieurs livres d'introduction au sujet qui m'avaient servi il y a un an et demi pendant la préparation de l'agrégation (les livres de Rouvière et de Lafontaine en particulier). Pour information, je me suis préparé seul à l'agrégation et j'ai présenté la leçon sur le théorème d'inversion locale à l'oral d'analyse (note 19). Aujourd'hui j'ai arrêté l'enseignement mais je souhaite continuer à comprendre le vaste sujet de la géométrie différentielle, par curiosité personnelle (et peut-être qu'on peut y trouver de vagues applications pratiques).

Mes expériences académiques se résument aux cours de prépa et à quelques modestes cours de maths en école d'ingénieur. Je me demandais ainsi, s'il est normal d'avoir l'impression d'avoir affaire à un mur infranchissable quand on commence l'étude des choses plus difficiles. Je m'explique. J'ai bien assimilé les concepts de variétés, de formes différentielles, compris à peu près la géométrie riemannienne élémentaire des surfaces et le formalisme du théorème de Stokes, en gros tout ce qu'on met au début d'un livre de géométrie différentielle élémentaire. Les idées et les démonstrations sont naturelles et presque toujours assez courtes, le niveau n'est pas très différent du niveau de l'agrégation. C'est dans un second temps que les choses se compliquent atrocement avec des démonstrations à rallonge sur deux pages voire plus, pas tout à fait naturelles, dures, qui peuvent mélanger plusieurs ingrédients à la fois (de mon point du vue disons). Il s'agit par exemple de la théorie du degré, des espaces de De Rham, du concept d'entrelacement de courbes, ou de la géométrie riemannienne générale. Le Berger-Gostiaux explique avec beaucoup de soin ces idées mais ça reste dur, et j'ai besoin de temps pour m'essayer aux exercices.

Est ce que quelqu'un peut me dire si ce "mur de difficulté" existe réellement ou est-ce moi qui suis trop bête? Ou encore peut-être que ces choses là sont plus difficiles à comprendre quand on apprend par soi-même plutôt que dans un cursus universitaire?

Edit : Bon quelque part, j'ai mes réponses plus haut en fait

etanche · November 2022

Je recommande differential geometry curves and surfaces de Do Carmo qui présente la géométrie différentielle
dans $\R^3$ avec de nombreux exemples et exercices, ça permet de d’avoir une très bonne base pour la géométrie riemannienne. https://www.amazon.com/Differential-Geometry-Curves-Surfaces-Mathematics/dp/0486806995

Dagothur · November 2022

J'ai consulté l'autre livre Do Cormo sur la géométrie riemannienne dans une bibliothèque, effectivement ça m'a l'air d'être une très bonne référence.

Positif · November 2022

@Dagothur
J'ai trouvé un truc vraiment bien expliqué. Les auteurs français n’écrivent pas pour les étudiants mais pour eux. Ils écrivent pour satisfaire leur égo de mathématicien. Differential Geometry of Curves and Surfaces de Shinichi Kobayashi .

Homo Topi · November 2022

Je comprends entièrement d'où vient le "les auteurs français n’écrivent pas pour les étudiants mais pour eux" mais j'aimerais nuancer ça un peu.

La géo diff, c'est un truc qu'on découvre en Master, c'est encore un domaine de recherche bien actif, qui a des applications dans énormément de domaines. Et ça, ça implique plusieurs choses :

1) Les auteurs vont plus souvent avoir envie de parler de "leur spécialité" dans ce domaine assez vaste, ils vont se sentir obligés de présenter un peu tout ce qui existe pour que ce soit effectivement un cours mais l'effort sera réparti de façon inégale sur le contenu. Pas comme un cours d'analyse réelle ou d'algèbre linéaire de L1-L2 où la progression du cours est "toute tracée" parce que les programmes sont décidés depuis longtemps (entre autres, les programmes des concours de CPGE, CAPES, Agreg).

2) Le public visé, ce ne sont plus des jeunes étudiants fraichement sortis du lycée, mais des étudiants plus expérimentés qui sont censés être capables de travailler de façon autonome avec un cours. Recouper avec d'autres bouquins, s'inventer ses propres exemples ou exercices de vérification... plein de livres font ça. Est-ce que c'est une bonne chose ? A méditer (my 2 cents : non !)

3) Mis à part les étudiants qui vont faire un M2 de recherche axé géo diff pour faire une thèse dans le domaine, les étudiants ne font qu'un semestre ou deux de géo diff. Un passionné de géo diff qui doit te partager sa passion pour un truc archi vaste en 145 pages (parce que tu ne liras pas plus pendant ton année de Master), ben, il va sauter plein d'étapes pour pouvoir mettre plus dans son bouquin.

Je pourrais continuer mais je m'arrête là. Ce que je peux te dire, c'est que c'est un domaine compliqué, oui, moi aussi j'ai du mal avec, mais il y a tellement de choses à découvrir, on peut beaucoup s'amuser. Obtenir une vue panoramique de toute la géo diff, ça c'est un énorme boulot, je ne sais pas si beaucoup de gens maîtrisent vraiment tout le contenu qui existe...

Dagothur · November 2022

@Positif
@Homo Topi
Merci d'avoir pris le temps de répondre. La géométrie différentielle est en effet un sujet intéressant car il a l'avantage de (presque) se visualiser et de poser des questions assez naturelles sur la forme des objets, les distances sur une surface, les champs de vecteurs, etc. En tout cas, plus naturelles qu'en algèbre ou en analyse fonctionnelle pour prendre des exemples de domaines des maths qui me paraissent beaucoup moins naturels. Je pense de plus vaguement pouvoir me servir de la géométrie différentielle en programmation (si besoin est, un jour).

La géométrie différentielle, c'est difficile...

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