Puisque tu as posé la question : qu'ai-je fait de faux ? Voici ma réponse.
L'idée était qu'on peut remplacer un reste en $0(1/n)$ par un reste en $O(1/n^2)$ (et sans faire de calcul) quand on sait que le développement d'ordre 2 existe et cette remarque donnait une solution simple.
Toi tu as tenu à calculer le développement d'ordre 2 et tu trouves, ce qui est exact, que ce terme est nul.
Cela te donne donc un reste en $o(1/n^2)$ qui est mieux que ce qu'on attendait, à savoir $O(1/n^2)$, mais tu as le culot, parce que le terme d'ordre 2 est nul, de croire (et ce n'est pas une coquille) que le développement est à l'ordre 1 ce qui ne te permet plus de conclure...
Dernière remarque : un peu de réflexion montre que $x\mapsto\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$ est impaire sur un voisinage de 0 ce qui permet, sans calcul, de savoir que le terme d'ordre 2 est nul.
Mais cela reste un développement d'ordre 2 et ton obstination à écrire $o(1/n)$ après avoir calculé un terme nul d'ordre 2 montre que tu ne sais pas ce qu'est un développement limité.
D'accord merci, j'ai compris. La fonction étant impaire et de classe C infinie sur un voisinage de $0$, elle admet des termes en $x^{2k+1}$ d'ordre aussi grand que l'on veut, qui seront des $O(x^2)$ .
Posons $f(x)=\sqrt{1+x}- \sqrt{1-x}$. Or $f(-x)= \sqrt{1-x} - \sqrt{1+x} =- f(x)$.
Pour éviter les calculs il faut comprendre les choses en profondeur, ce qui n'est pas mon cas. Je calcule un peu "bêtement".
Si tu as besoin de calculer bêtement pour voir ce qu'il se passe, réponds à ceci, ça te donnera peut-être un peu d'intuition :
Supposons que j'aie un développement limité, au voisinage de $0$, de la forme $f(x)=a+bx+0x^2+cx^3+...$, donc j'entends que seul le coef d'ordre 2 est nul. Qu'est-ce je peux écrire ?
1) $f=a+bx+o(x)$
2) $f=a+bx+o(x^2)$
3) $f=a+bx+o(x^3)$
4) $f=a+bx+O(x)$
5) $f=a+bx+O(x^2)$
6) $f=a+bx+O(x^3)$ ?
Comme $\dfrac{1}{n} \longrightarrow 0$ quand $n \longrightarrow +\infty$, on a juste à réécrire ces trucs sous la forme $u_n = a + \dfrac{b}{n} + \dfrac{0}{n^2} + \dfrac{c}{n^3}+\ldots$ au voisinage de l'infini, et ça règle la question en pratique pour les suites. Cf les exos que je t'aurais donné en prochain en privé...
@Homo Topi. Pour 1), 2),3),4),5),6) c'est relativement simple à partir du moment où on a compris, qu'un petit o de "quelque chose" IMPLIQUE le grand O de "quelque chose" non ?
J'avais étudié ça il y a longtemps à présent, c'est le souvenir à vie que j'en ai)
Je suis persuadé d'avoir envoyé une réponse, peut-être que c'est encore un bug du forum. Bon, je vais essayer de paraphraser ma mémoire...
Je prends le cas où $x=\dfrac{1}{n}$, qui est bien dans un voisinage de $0$ quand $n \longrightarrow +\infty$, et $f$ sera une suite $(u_n)_n$ pour être dans le contexte de suites/séries.
Le développement de $u_n = a + \dfrac{b}{n} + \dfrac{0}{n^2} + \dfrac{c}{n^3}+...$ peut effectivement être ponctué par un $o \bigg( \dfrac{1}{n} \bigg)$, un $o \bigg( \dfrac{1}{n^2} \bigg)$ mais pas un $o \bigg( \dfrac{1}{n^3} \bigg)$. On peut effectivement remplacer $o \bigg( \dfrac{1}{n} \bigg)$ par $O \bigg( \dfrac{1}{n} \bigg)$, resp. $o \bigg( \dfrac{1}{n^2} \bigg)$ par $O \bigg( \dfrac{1}{n^2} \bigg)$, et tu l'as fait "juste pour utiliser des $O$", mais en fait, c'est bête de faire ça : être un $o$, c'est une condition plus forte qu'être un $O$, donc si tu as déjà fait le boulot pour obtenir un $o$, il faut le brandir fièrement, au lieu de te sentir obligé de montrer un $O$ à la place.
Dans le contexte des séries positives, on a trois résultats de comparaison : quand $u_n \leqslant v_n$, $u_n=o(v_n)$ et $u_n=O(v_n)$, la nature de l'une des séries peut suffire à nous donner la nature de l'autre. Quand on y réfléchit bien, en fait, il y a un seul résultat derrière ça : la version $O$, parce que si $u_n \leqslant v_n$, alors $u_n=O(v_n)$, et quand $u_n=o(v_n)$, alors $u_n=O(v_n)$ également. Le $O$ est la condition "la plus faible" qui permet de conclure, donc c'est notre garde-fou, mais si on a réussi à montrer mieux, alors on a mieux, pas la peine de downgrader notre argument. En gros ça revient à écrire "$f$ est dérivable, donc elle est continue" à chaque fois que tu veux appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. Au bout d'un moment, c'est inutile de le préciser, c'est inutilement lourd et ça donne l'impression que tu ne comprends pas bien ce dont tu parles ou que tu es hésitant sur des trucs qui sont censés être des évidences.
Bref. Pour en revenir à ma suite. Tu remarques qu'on n'a pas de $o \bigg( \dfrac{1}{n^3} \bigg)$, mais on a un $O \bigg( \dfrac{1}{n^3} \bigg)$. Si dans un certain exercice, on a besoin d'une comparaison, le $O$ suffira toujours, donc si on n'arrive pas à montrer un $o$, pas grave si on a un $O$. Le $O$ suffit.
Le truc à retenir, c'est : n'essaie pas de te forcer à "je veux obtenir un $o$ et pas autre chose" ou "je veux obtenir un $O$ et pas autre chose". Fais le moins de travail possible et prends le premier truc qui vient qui suffit pour conclure. Tu iras plus vite. C'est bien pour ça que les DL usuels t'ont été donnés avec des $o$ : c'est une condition plus forte qu'un $O$, donc il y a plus de chances qu'elle permette de conclure, alors autant ne pas s'en priver quand on peut !
Quand j'étais étudiant, $o()$ était une notation courante. $O()$ n'existait pas. Ou alors, c'était très confidentiel.
La ligne 4 : $a+bx+O(x)$ : elle n'est pas fausse, si on veut, mais elle est ridicule. Tu ne peux pas dire qu'elle est vraie, sans faire un commentaire.
$4+6x+O(x)$ et $4+8x+O(x)$ : ces 2 expressions sont égales. On est d'accord là-dessus ou pas ? Et donc, on voit bien qu'elles sont aussi ridicules l'une que l'autre.
Quand tu utilises une nouvelle notation ( ces petit o ou ces grands O), tu ne cherches pas à comprendre ce que ça signifie. tu manipules des formules qui restent complètement virtuelles. En fait, je m'imagine en train de recopier un texte écrit en thaïlandais, ou en chinois. Donc en train de recopier un truc auquel je ne comprendrais rien, avec même un alphabet différent du nôtre. Et je me dis : pffff, qu'est ce que ça doit être pénible de recopier des trucs auxquels on ne comprend strictement rien. Quelle drôle de méthode pour apprendre une langue étrangère.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourrran : le fait qu'un truc était enseigné ou non avant comparé à maintenant ne veut, en soi, rien dire. Je ne veux pas tomber dans le "c'était mieux avant" sans réfléchir. Au passage, je ne sais honnêtement plus si j'ai fait des $O$ en prépa (PTSI-PT 2009-2011).
Techniquement, la manipulation des $o$ et des $O$ est presque la même, quand on a bien saisi l'idée de l'un on comprend l'autre aussi, il n'y a pas de raison de se restreindre à en n'enseigner qu'un. En un sens, ce que je racontais au-dessus prouve bien que le $O$ a sa place en analyse : il est techniquement plus simple à établir, et suffit pratiquement toujours.
L'avantage du $o$, c'est qu'on peut exprimer les DL avec des $o$ (donc on le fait, cf mon laïus pour OShine) et que donc, on a plus de techniques qui donnent directement un $o$ qu'un $O$. Donc je pense qu'on a davantage l'habitude de manier des $o$ en maths, surtout vu le lien entre $o$ et équivalents.
Je crois avoir compris que le $O$ sert davantage à étudier les complexités d'algorithmes (donc les temps de calcul), et vu qu'on fait de plus en plus de maths numériques et d'informatique, tu m'étonnes que ça rentre dans les programmes.
Je ne suis pas dans le c'était mieux avant. Disons que les 2 outils font plus ou moins double emploi. Un peu comme des vis cruciformes et des vis 'droites'. Les 2 types de vis existent, ils sont globalement interchangeables. Il faut juste prendre soin d'utiliser le tournevis adapté pour chaque type de vis.
Là, pareil on a 2 outils, plus ou moins interchangeables. Tout ce qu'il faut, c'est comprendre l'outil qu'on utilise, et savoir quels aménagements on doit faire pour utiliser l'autre outil en lieu et place du premier. Pédagogiquement, pour quelqu'un qui a beaucoup de difficultés, introduire les 2 notions $o$ et $O$, c'est peut-être un cadeau empoisonné.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Réponses
Posons $f(x)=\sqrt{1+x}- \sqrt{1-x}$. Or $f(-x)= \sqrt{1-x} - \sqrt{1+x} =- f(x)$.
Pour éviter les calculs il faut comprendre les choses en profondeur, ce qui n'est pas mon cas. Je calcule un peu "bêtement".
J'avais étudié ça il y a longtemps à présent, c'est le souvenir à vie que j'en ai)
2) vrai
3) faux
4) vrai
5) vrai
6) vrai
La ligne 4 : $a+bx+O(x)$ : elle n'est pas fausse, si on veut, mais elle est ridicule. Tu ne peux pas dire qu'elle est vraie, sans faire un commentaire.
$4+6x+O(x)$ et $4+8x+O(x)$ : ces 2 expressions sont égales. On est d'accord là-dessus ou pas ?
Et donc, on voit bien qu'elles sont aussi ridicules l'une que l'autre.
Quand tu utilises une nouvelle notation ( ces petit o ou ces grands O), tu ne cherches pas à comprendre ce que ça signifie. tu manipules des formules qui restent complètement virtuelles. En fait, je m'imagine en train de recopier un texte écrit en thaïlandais, ou en chinois. Donc en train de recopier un truc auquel je ne comprendrais rien, avec même un alphabet différent du nôtre. Et je me dis : pffff, qu'est ce que ça doit être pénible de recopier des trucs auxquels on ne comprend strictement rien. Quelle drôle de méthode pour apprendre une langue étrangère.
Là, pareil on a 2 outils, plus ou moins interchangeables. Tout ce qu'il faut, c'est comprendre l'outil qu'on utilise, et savoir quels aménagements on doit faire pour utiliser l'autre outil en lieu et place du premier.
Pédagogiquement, pour quelqu'un qui a beaucoup de difficultés, introduire les 2 notions $o$ et $O$, c'est peut-être un cadeau empoisonné.