Une identité algébrique pour étudier les fonctions analytiques

Bonjour, voici une preuve que j'ai rencontrée dans 'Real and complex analysis', écrit par W. Rudin. Cette preuve utilise une identité déroutante pour moi.
Soit $f (z) = \sum_{0}^{\infty}c_{n}z^n$ convergente sur $D( 0 ; r ) $, qui est une boule ouverte définie sur le plan complexe de centre 0 et de rayon $r$.  On cherche à montrer que $f'(z) = \sum_{0}^{\infty} nc_{n}z^{(n-1)},$ pour $z \in D( 0 ; r )$.
Posons $g(z) = \sum_{0}^{\infty} nc_{n}z^{(n-1)}$ qui a le même rayon de convergence que $f(z)$.  Soit $w \in D( 0 ; r ) $, on cherche à montrer\[ \Big| \frac{f(z) - f(w)}{z-w} - g(w) \Big| \rightarrow 0, \quad\text{quand}\  z \rightarrow w.\] Ici, on fixe $\rho$ tel que $|w| < \rho < r$.  L'argument de Rudin est comme ça : \[ | \frac{f(z) - f(w)}{z-w} - g(w) | = \sum_{0}^{\infty}c_{n} \{ \frac{z^n - w^n}{z-w} - nw^{(n-1)}\} \] et il utilise \[  \frac{z^n - w^n}{z-w} - nw^{(n-1)} = (z-w) \sum_{1}^{n-1} kw^{k-1}z^{n-k-1} ,\quad\text{ pour} \  n \ \geq 2\]C'est cette dernière identité qui peut donner une bonne estimation, mais cette identité ne me semble pas naturelle, je peux le vérifier mais d'une manière fastidieuse.  Est-ce que vous avez une bonne preuve de cette égalité ? 
C'est la première fois que je pose une question dans ce forum, je ne sais pas c'est une bonne question... Merci pour votre lecture !
Bien cordialement,
Qfwfq