Égalité espérance conditionnelle
Bonjour,
je ne comprends pas le résultat suivant.
On pose $\Omega = \mathbb{R}^2$ muni de la tribu borélienne.
On considère les fonctions projections $X(x,y)=x$ et $Y(x,y)=y$ qui sont donc des v.a.
On pose $P_1$ et $P_2$ deux probabilités sur $\Omega$ à support fini avec $supp(P_1)=supp(P_2)$. Un support fini c'est : un borélien $A$ fini tel que $P_1(X,Y \in A)=1$.
Pour simplifier on va dire que le support est $A=\{x_1,x_2,x_3\} \times \{y_1,y_2,y_3\}$
Si $ \forall i ,$ $E^{P_1}[Y\mid X=x_i]=E^{P_2}[Y\mid X=x_i]$ alors $E^{P_1}[Y\mid X]=E^{P_2}[Y\mid X]$.
Réponses
-
N'est-ce pas tout simplement l'espérance conditionnelle dans le cas discret ?
On a l'égalité presque sûrement de ces deux espérances conditionnelles. -
Merci pour ta réponse,Mais j'ai l'impression qu'il manque quelque chose pour conclure.Je détaille un peu plus :la notion de presque sûr dépend d'une proba fixé donc il faut préciser $P_1$ presque sûr ou $P_2$ presque sûr si on en parle.La dernière égalité est une égalité de variable aléatoire, j'ai du mal à comprendre ce que ça veut dire étant donné qu'elle ne sont pas définie sur le même espace probabilisé.Je ne suis pas habitué à manipuler ces objets donc il y a peut être des trucs que je comprends de travers.
-
Déterrage mais ça pourrait être utile à un futur étudiant.1 ) quand on parle de probas, le terme “égalité” se comprend toujours $ \mathbf{P}-$ presque sûrement2 ) dans le cas fini, tu as une expression de l’espérance conditionnelle qui est :$ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X ] = \sum_{i = 1}^n \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X = x_i ] \times \mathbf{I}(X = x_i) $
(en gros faut coincider avec le réel $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X = x_i ] $ quand on tire le sample $(X = x_i)$ dans l'expérience, ce qui revient à réaliser l’indicatrice)
Bon, on remarque que l'expression de gauche est censé être la même peu importe $P_1$ ou $P_2$ n’est-ce pas ? Tu peux donc légitimement conclure que oui, $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X ] = \mathbf{E}^{P_2} [ Y | X ] $. Un instant de réflexion te permet d'étendre cela au cas dénombrable pourvu qu'on ait une bonne définition du réel $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X = x_i ] $.
3 ) De façon plus abstraite, si on vérifie l’égalité :\[ \int_A Y(\omega) \mathrm{d} P_1( \omega) = \int_A Y(\omega) \mathrm{d} P_2( \omega) \] pour tout borélien $A \in \sigma(X) $ et bien oui, les espérances conditionnelles $ \mathbf{E}^{P_1} [ Y | X ] $ et $ \mathbf{E}^{P_2} [ Y | X ] $ coincident ( $P_1 \otimes P_2$ on sait on sait ... )
4 ) L'espérance conditionnelle est un objet difficile et dangereux, il ne faut pas hésiter à poser des questions.---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 3
3 Invités