Avis sur le livre : "Raisonnements divins, proofs from the book"

Je viens de lire le chapitre 1 (6 démonstrations de l'infinité des nombres premiers), seule la démonstration 1 (Euclide) est de quelque intérêt, les autres sont inutilement compliquées (par rapport à la 1) et n'apportent rien.

Cela nécessite des démonstrations supplémentaires qui n'apportent rien au résultat demandé (là-dessus chacun ses goûts). Après et sans rapport avec cette question, on peut étudier les nombres de Fermat et la série harmonique.

Si je vous demandais de quelle couleur est la mer, vous pouvez répondre : 
1) bleue
2) je vais démontrer que la mer est de la même couleur que le ciel (cela va prendre quelques pages) et comme le ciel est bleu, on pourra conclure

Personnellement, je préfère la réponse 1 (peut-être que le ciel ne m'intéresse pas).

Oui, mais ce n'est pas le cas ici.

À l'évidence, vous n'en démordrez pas, et j'ai peur que moi non plus.

Je précise que je n'ai rien contre les démonstrations multiples, mais une nouvelle démonstration me captive, si elle utilise moins d'outils et/ou si elle est plus courte, ou, bien sûr, si elle ouvre de nouvelles idées (une belle démonstration, pour moi, c'est par exemple la démonstration du théorème d'Ax par des techniques modèle-théorique)

Oui, Elizabeth Bouscaren avait écrit un beau document d'introduction à la théorie des modèles où elle en parlait.
Ne pas oublier que la démonstration d'Euclide prend une ligne

J'aime bien quand même

Mediat_Suprème :

La démonstration d'Euler sur l'infinité de l'ensemble des nombres premiers repose sur l'inégalité
$$\sum_{p \leqslant N} \frac{1}{p} \geqslant \log \log N - 1$$
qui entraîne que la série des inverses des nombres premiers diverge et, par suite, qu'il y a une infinité de nombres premiers.

La démonstration d'Euclide repose sur le principe de la recherche d'un polynôme $P \in \mathbb{Z}[X]$ de degré $\geqslant 1$ dont les valeurs entières ont des diviseurs premiers vivant dans certaines progressions arithmétiques (Euclide a en l'occurrence choisi le polynôme $P = X+1$).

Lorsqu'au milieu du 19ème siècle, Dirichlet s'est attaqué à l'infinitude des nombres premiers en suite arithmétique, il a d'abord tenté de généraliser l'argument d'Euclide. Malheureusement, on sait aujourd'hui que c'est impossible. Plus précisément, on a le résultat suivant :

Th (Schur 1912, Murty 1988). Soient $a,q \geqslant 1$ des entiers premiers entre eux. Alors une démonstration à la Euclide existe pour la suite $(a \bmod q)$ si et seulement si $a^2 \equiv 1 \pmod q$.

Par exemple, impossible d'utiliser un argument euclidien pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers $p \equiv 7 \pmod 9$.

Qu'a alors fait Dirichlet ? Il s'est tourné, avec succès cette fois, vers la méthode d'Euler. La grande nouveauté de Dirichlet a été de créer une fonction indicatrice $\mathbf{1}_{q,a}$ de l'ensemble des entiers $n \equiv a \pmod q$ et de montrer que la série
$$\sum_{p \leqslant N } \frac{\mathbf{1}_{q,a}(p)}{p} $$
diverge. 

Cette même idée a été reprise en 1917/18 par Viggo Brun lorsqu'il a calculé la somme
$$\sum_{\substack{p \leqslant N \\ (p,p+2) \, \textrm{premiers}}} \frac{1}{p}$$
et qu'il a découvert que, cette fois, celle-ci converge.

Bref, la démonstration d'Euler fut promise a beaucoup plus d'ouverture, de généralisations et de succès que celle d'Euclide, même si celle-ci reste un monument de créativité. À ce titre, Euler est aujourd'hui considéré comme l'un des premiers théoriciens analytique des nombres, même s'il ne connaissait pas encore l'apport des nombres complexes : et pour cause, il ne pouvait le connaître, étant mort avant la théorisation de l'analyse complexe par Cauchy et Weierstrass.

JLapin a dit :

Tu as écrit plus haut que "ces démonstrations n'apportent rien" 

Dans le message suivant, je précise, car c'est ce que je voulais dire : "n'apportent rien au résultat demandé".

Je reprécise encore que c'est bien une question de goût, je ne critique pas ceux qui pensent différemment, mais moi, je n'ai vu qu'une seule démonstration de l'infinité des premiers, les autres ont d'autres buts.

Bien sûr, mais d'autres choses

Faudrait lire un peu les posts avant de s'enferrer à insulter le posteur en se basant sur des mensonges.

La politesse minimale, qui semble vous échapper, aurait été de vous adresser à moi avec mon pseudo entier.

Si vous ne voyez pas qui me traite de haut, ce qui est insultant, relisez !
Si vous pensez que je déteste ce bouquin, relisez !
Il est clair, que même si d'avis différents, la conversation avec Math Coss s'est parfaitement déroulée, si vous voulez chercher des coupables pour une conversation non sereine, ce n'est ni de mon côté ni du côté de Math Coss qu'il vous faut chercher.
J'ai un avis et je pense que c'est mon droit, même sur ce forum et c'est aussi mon droit de l'exprimer sans être agressé !

Je me sens agressé par vous quand vous me citez partiellement (ce qui n'est très grave) mais surtout par gerard0, qui ne peut s'empêcher d'être condescendant, ce qui, est insultant, et il m'interdit d'avoir un avis (faut le faire, non ?) peut-être se venge-t-il parce que je m'étais opposé à son passage comme modérateur sur un autre site.

Cordialement.

De qui est cette citation ? Qui ne comprend pas le sens des mots qu'il emploie ? Qui commence par dire qu'il n'aime pas, que c'est des preuves inutiles, qu'elles sont plus longues, pour finir par cette citation.

Pour revenir au sujet: j'aime beaucoup ce livre, pas forcément tous les themes (histoire de gouts), mais suffisamment pour le recommander sans réserve.
Le postulat de Bertrand et le théorème du président étaient dans ma liste de développements à l'agreg.

Le chapitre 6 « Quelques nombres irrationnels » et le chapitre 15 « Ensembles, fonctions et hypothèse du continu » sont très intéressants également.

J’avais oublié la preuve 64 dite de « Séminaire de recherche » à laquelle je n’ai rien compris et pour cause: elle utilise l’action d’une algèbre de Lie et la transformation de Tschirnhaus.

Oui, c'est ce livre.

 Bien placés bien choisis
quelques mots font une poésie
les mots il suffit qu’on les aime
pour écrire un poème
on ne sait pas toujours ce qu’on dit
lorsque naît la poésie
faut ensuite rechercher le thème
pour intituler le poème
mais d’autres fois on pleure on rit en écrivant la poésie
ça a toujours kékchose d’extrême
un poème.

Raymond Queneau, in L’instant fatal, Aux nourritures terrestres, 1946.

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2319374#Comment_2319374