Automorphisme externe de l'univers

Pourquoi ton $j$ est bien défini dans le cas de $\alpha$ entier non standard ? Il me semble que si $\mathcal M$ n'est pas $E$-bien fondé, cette formule n'a pas de raison de définir un $j$, si ? (je parle du "inductivement", pas du $j(\alpha)$) )

Sinon, tu peux pas faire la même chose en prenant un automorphisme quelconque de la partie "non standard de $\mathcal M$" ? Je m'explique : la propriété "$\mathcal M$ est non-$\alpha$-standard" est close vers le haut, donc si tu trouves un automorphisme non trivial de $\{\alpha \mid \alpha$ non standard $\}$ (je veux dire: automorphisme pour l'ordre induit par $E$), tu devrais pouvoir l'étendre aussi facilement que dans le cas d'un entier (enfin je ne sais toujours pas pourquoi c'est bien défini mais ça tu me le diras :-D ). 

En particulier, il s'agit de prouver que cet ensemble totalement ordonné mais pas bien ordonné admet un automorphisme non trivial. Il est certainement sans extrêmités (il n'y a pas de plus petit ordinal non standard) et tout le monde a un successeur.

 Soit $P$ cet ordre.J'appelle composante connexe un sous-ensemble $C$ de $P$ stable par successeur et prédécesseur lorsqu'ils existent, et minimal pour ces propriétés (i.e. les composantes connexes du graphe non orienté associé à $P$ pour la relation 'successeur'). Les composantes connexes partitionnent $P$. Une composante connexe admet un minimum, ou pas. Si elle admet un minimum, elle est isomorphe à $\mathbb N$, et sinon à $\mathbb Z$ (je te laisse prouver ça d'un ordre total à successeurs et connexe et sans maximum). Si tu as ne serait-ce qu'une composante sans minimum, tu as un $\mathbb Z$ et donc un automorphisme. En admettant que ma stratégie de plus haut marche, on a gagné. 

Sinon, tu dois avoir une chaîne descendante infinie de composantes connexes isomorphes à $\mathbb N$. J'ai envie de les shifter, mais pas sûr que ce soit possible. Voyons voir. J'appelle $Q := P/$connexes l'ordre obtenu en tuant les composantes connexes de $P$. Il est toujours totalement ordonné, mais je me demande s'il a des successeurs. Bah si j'ai une composante connexe avec pour minimum $\alpha$, j'ai l'impression qu'elle est définissable dans $\mathcal M$ par $\{\alpha +n, n\in\omega\}$, de sorte que la composante connexe de $\alpha + \omega$ lui succède. 

Du coup on peut faire de même avec $Q$ et itérer : ou bien on trouve un $\mathbb Z$ dans $Q$, et on a gagné, ou bien... Bon, on est un peu coincé pour itérer parce que rien ne nous dit que ça doit aboutir. Je crois quand même (intuitivement) qu'il devrait y avoir un automorphisme, ou bien tu vas être bien fondé mais j'ai pas d'argument. Désolé pour un long texte avec finalement peu d'utilité