Équation aux dérivées partielles
Bonsoir soit $ u_0\in C^1([0,+\infty[)$ telle que $u_0(0)=u'_0(0)=0$
On considère le problème d'inconnue $u:(t,x)\in [0,+\infty[\times [0,+\infty[\to u(t,x)\in \mathbb{R}$
$$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t }+e^x\frac{\partial u(t,x)}{\partial x} =0, (t,x)\in [0,+\infty[\times [0,+\infty[$$ et
$u(t,0)=0,\ $ si $t>0,\ u(0,x)=u_0(x),\ x\in [0,+\infty[$.
$$ X'(s,t,x)=e^{X(s,t,x)}, \quad X(t,t,x)=x$$
l'équation est équivalente à
$$-X'(s,t;x)e^{-X(s,t,x)}=-1 ,\quad X(t,t,x)=x$$
donc $ e^{-X(s,t;x)}-e^{-x}=t-s$ et $ X(s,t,x)=-\ln( e^{-x}+t-s)$
On me demande l'intervalle maximal
Je trouve $ J=]0,t+e^{-x}[$
Mon problème commence à partir de la résolution du problème.
Je trouve $ u(t,x)=u_0(X(0,t,x))=u_0(-\ln(t+e^{-x}))$
mais quelques hypothèses semblent ne pas marcher pour ma solution.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
On considère le problème d'inconnue $u:(t,x)\in [0,+\infty[\times [0,+\infty[\to u(t,x)\in \mathbb{R}$
$$\frac{\partial u(t,x)}{\partial t }+e^x\frac{\partial u(t,x)}{\partial x} =0, (t,x)\in [0,+\infty[\times [0,+\infty[$$ et
$u(t,0)=0,\ $ si $t>0,\ u(0,x)=u_0(x),\ x\in [0,+\infty[$.
1/ On me demande de calculer la caractéristique $X(s,t,x)$ passant par $(t,x)$.
Je sais que $ X(s,t,x)$ est solution du problème de Cauchy :$$ X'(s,t,x)=e^{X(s,t,x)}, \quad X(t,t,x)=x$$
l'équation est équivalente à
$$-X'(s,t;x)e^{-X(s,t,x)}=-1 ,\quad X(t,t,x)=x$$
donc $ e^{-X(s,t;x)}-e^{-x}=t-s$ et $ X(s,t,x)=-\ln( e^{-x}+t-s)$
On me demande l'intervalle maximal
Je trouve $ J=]0,t+e^{-x}[$
Mon problème commence à partir de la résolution du problème.
Je trouve $ u(t,x)=u_0(X(0,t,x))=u_0(-\ln(t+e^{-x}))$
mais quelques hypothèses semblent ne pas marcher pour ma solution.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
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Réponses
Je n'ai pas compris ton problème.