Variété

Keynes · June 2022

On considère le disque $ D^2=\{ u \in \mathbb{C}\mid \|u\|\leq 1\}$ et on note $\sim $ la relation d'équivalence sur $D^2$ dont les classes sont
les singletons $ \{x\}$ pour $ \|x\| <1$ et les doubletons $ \{x,-x\}$ pour $ | x | =1$
1 / Démontrer que $ P=D^2/\sim $ est connexe et compact.
Pour cette question j'ai pu répondre en écrivant $ P=D^2/\sim =\pi_{\sim}( D^2)$.
2/ P est-il une variété ?
Je pense que $P$ est une variété mais j'ai essayé de prouver sans succès quelqu'un peut-il m'aider ?

Poirot · June 2022

Avec un peu de culture, on reconnaît un modèle du plan projectif réel, donc on sait que la réponse est oui

Pour plus de détails, il est clair que tout élément $\{x\}$, avec $||x|| < 1$ admet un voisinage homéomorphe à la boule unité de $\mathbb R^2$. Quand aux éléments $\{x, -x\}$ avec $||x|| = 1$, il suffit de considérer $\{y \in D^2 \mid ||y-x|| < \frac13 \text{ ou } ||y+x|| < \frac13\}$ par exemple, qui est un ouvert homéomorphe à un ouvert de $\mathbb R^2$

Mejdouline · June 2022

Le truc à priori c'est que D² n'est pas une variété...

Poirot · June 2022

C'est une variété à bord, mais ça n'a pas vraiment de rapport avec la question de toute façon. Quand je dis boule unité dans mon message précédent, c'est boule unité ouverte.

Keynes · June 2022

Merci

Variété

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 32