Par l'absurde si $H_1 \cup H_2= E$ alors $H_1 \cup H_2$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $H_1 \subset H_2$ ou $H_2 \subset H_1$. Donc $H_1= E$ ou $H_2=E$ ce qui est absurde. En effet, par l'absurde, si $H_1 \cup H_2 $ est un sev de $E$ et $H_1$ n'est pas inclus dans $H_2$ et $H_2$ n'est pas inclus dans $H_1$ alors :
Q32) sans passer par les formes linéaires. Il existe $e,f\in E$ tels que $\omega(x,e)\neq 0$ et $\omega(y,f)\neq 0$. Si $\omega(y,e)\neq 0$ ou $\omega(x,f)\neq 0$, c'est fini.
Sinon, $\omega(x,e+f)=\omega(x,e)\neq 0$ et $\omega(y,e+f)=\omega(y,f)\neq 0$.
Q34) Il existe $f\in E$ tel que $\omega(e_1,f)\neq 0$ donc $f_1=\ldots$ convient.
Je tente la question suivante. Je sens que la question 36 va me poser de gros problèmes.
Q35) Je vais utiliser le lemme démontré. Pour cela, il suffit de démontrer que $e_1$ et $u(e_1)$ sont des vecteurs non nuls de $E$. Par hypothèse, $e_1$ est non nul, il suffit de montrer que $u(e_1)$ est non nul. Or $u$ est symplectique donc $\forall x,y \in E \ \ w (u(x) ,u(y))= w(x,y)$.
Donc $w ( u(e_1) ,u(f_1) ) = w( e_1 ,f_1)$. Mais d'après Q34, $w(e_1,f_1)=1$. Ce qui implique $w ( u(e_1) ,u(f_1) )=1$.
Par l'absurde si $u(e_1)=0$ alors $w ( u(e_1) ,u(f_1) ) = w( 0 , u(f_1)) =0$ ce qui est absurde. On peut donc utiliser le lemme avec $x=e_1$ et $y=u(e_1)$ ce qui termine la démonstration.
Tu prends un transvection symplectique générale $\tau_a^{\lambda}$ avec $a$ non nul. Pour commencer on aimerait que cette transvection vérifie $\tau_a^{\lambda}(\tilde{f_1})=f_1$. Que peut-on en déduire sur $a$ ?
PS. Elle est bien calculatoire celle-ci OShine, tu devrais aimer...
Merci beaucoup L'expression de $\tilde{f_1}$ est horrible. Ca devient clairement compliqué à ce stade. Ce qui m'a paru compliqué c'est qu'on doit vérifier à la fois $\gamma_2 (e_1)=e_1$ et $\gamma_2 (\tilde{f_1})=f_1$. Si $\tau_a ^{\lambda} ( \tilde{f_1}) =f_1$ alors $\delta_1 [ u(e_1) ] + \lambda \omega ( a, \delta_1 [ u(e_1) ) a= f_1$ D'après Q35, on a $\delta_1 [ u(e_1) ]= e_1$. Donc $\boxed{e_1 + \lambda \omega(a,e_1) a = f_1}$ Ainsi $\lambda \omega(a,e_1) a = f_1-e_1$. En prenant $a=f_1-e_1$ et $\lambda =-1$ on a : $\lambda \omega(a,e_1) a = - \omega( f_1-e_1, e_1) (f_1-e_1)= -\omega(f_1,e_1) (f_1-e_1)=f_1-e_1$ Par conséquent, $\boxed{\tau_{f_1-e_1} ^{-1} ( \tilde{f_1}) =f_1}$ donc $\boxed{\delta_2 = \tau_{f_1-e_1} ^{-1}}$. Il reste à montrer que $\delta_2 ( e_1)=e_1$. Or $\tau_{f_1-e_1} ^{-1}(e_1) = e_1 - w( f_1-e_1,e_1) (f_1-e_1) = e_1- w(f_1,e_1) (f_1-e_1)=e_1+ f_1-e_1=f_1$ Ici ça ne marche pas je ne vois pas comment remédier à ce problème
Les corrigés ne m'intéressent pas, je veux chercher les questions par moi-même. Toute ma vie je n'ai fait que lire des corrigés et je n'ai jamais progressé, j'ai même régressé. Quand je lis un corrigé 2 jours après je ne sais pas refaire. Je suis déjà fier d'avoir été jusqu'à la question 36 sans regarder s'il y avait un corrigé, alors que ça devient vraiment compliqué à ce stade du sujet par rapport à mon niveau.
Il y a une coquille dans ton calcul car tu dis que $\tilde{f_1}=\delta_1 [ u(e_1) ]$. C'est plutôt $\tilde{f_1}=\delta_1 [ u(f_1) ]$. À ce stade je te conseille d'écrire $\tilde{f_1}$ au leu de $\delta_1 [ u(f_1) ]$, c'est plus court. Retente pour voir. PS. Le conseil est de lire le corrigé en dernier recours, seulement si on a tout tenté sans rien trouver.
Tu te mets le doigt dans l'oeil. Tu as été jusqu'à la question 36 parce que tes tuteurs te tiennent par la main, ils te portent. Dès qu'ils te lâchent la main, tu tombes. Tout seul, tu as fait le début de la question 1. C'est tout.
Tant que tu croiras que faire un problème avec l'aide de 4 ou 5 profs particuliers qui te tiennent par la main, c'est la même chose que faire un problème tout seul, tu te fourvoieras totalement sur ton niveau.
Quelles sont les épreuves que tu sais faire, sans demander de l'aide à chaque question ? Mystère. Tu penses que tu sais faire une épreuve du Bac. J'en doute fort.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@lourrran non j'ai réussi au moins 12 questions tout seul. Personne ne m'a aidé à faire la question $35$ par exemple. @raoul.S en gardant $\tilde{f_1}$ je n'y arrive pas. On veut $\tau_a ^{\lambda} (\tilde{f_1})=f_1$ soit $\boxed{\lambda \omega (a, \tilde{f_1})= f_1- \tilde{f_1}}$ Je bloque ici à cause du $\tilde{f_1}$. J'ai essayé de prendre $a=f_1- \tilde{f_1}$ mais je ne sais pas calculer $\omega ( \tilde{f_1} ,e_1)$ donc je n'arrive pas à calculer $\delta_2 (e_1)$.
J'ai essayé de prendre $a=f_1- \tilde{f_1}$ mais je ne sais pas calculer $\omega ( \tilde{f_1} ,e_1)$...
Oui c'est bien $a=f_1- \tilde{f_1}$. Il faut trouver $\lambda$ et pour le calcul de $\omega ( \tilde{f_1} ,e_1)$ il faut y aller quoi, prends une feuille de brouillon et écris. Je te rappelle que $e_1=\delta_1(u(e_1))$ et $\tilde{f_1}=\delta_1(u(f_1))$ que $\delta_1$ et $u$ sont symplectiques etc. il faut tout utiliser quoi.
Tu n'y arrives pas car tu n'as pas corrigé la coquille que je t'ai signalée dans mon dernier message...
Tu écris $\lambda \omega (a, \tilde{f_1})= f_1- \tilde{f_1}$ mais il manque un $a$. Tu vois bien qu'à gauche de l'égalité tu as un nombre et qu'à droite tu as un vecteur...
C'est $\lambda \omega (a, \tilde{f_1})a= f_1- \tilde{f_1}$ qu'il faut écrire. Maintenant sachant qu'on prend $a=f_1- \tilde{f_1}$ il faut que $\lambda$ soit égal à quoi ?
Ok merci. On a $\lambda \omega (f_1- \tilde{f_1} , \tilde{f_1} ) (f_1 - \tilde{f_1} ) = f_1 -\tilde{f_1} $. Or $\omega (f_1- \tilde{f_1} , \tilde{f_1} )= \omega (f_1 , \tilde{f_1} )$. Donc $\boxed{\lambda \omega (f_1 , \tilde{f_1} ) (f_1 - \tilde{f_1} ) = f_1 -\tilde{f_1}}$. Comme $\lambda \omega (f_1 , \tilde{f_1} ) \in \R$, il faut que $\lambda \omega (f_1 , \tilde{f_1} ) =1$ Deux cas se présentent. Premier cas : Si $\omega (f_1 , \tilde{f_1} ) \ne 0$ alors $\lambda= \dfrac{1}{ \omega (f_1 , \tilde{f_1} )}$. Vérifions que $\tau_{f_1-\tilde{f_1} }^{1 / \omega (f_1 , \tilde{f_1}) } (e_1)=e_1$. On a $\tau_{f_1-\tilde{f_1} }^{1 / \omega (f_1 , \tilde{f_1 }) } (e_1) = e_1+ \dfrac{1}{ \omega (f_1 , \tilde{f_1} ) } \omega( f_1-\tilde{f_1} ,e_1) (f_1- \tilde{f_1} ) $ Or $\omega( f_1-\tilde{f_1} ,e_1)= \omega( f_1 ,e_1)- \omega( \delta_1 (u(f_1)) , \delta_1 (u(e_1) )= -1 -\omega(f_1,e_1)=-1+1=0$ car $u$ et $\delta_1$ sont symplectiques. Donc $\boxed{\tau_{f_1-\tilde{f_1} }^{1 / \omega (f_1 , \tilde{f_1 }) } (e_1) = e_1}$ Finalement $\delta_2 = \tau_{f_1-\tilde{f_1} }^{1 / \omega (f_1 , \tilde{f_1 }) }$ (c'est la composée d'au plus deux réflexions) Deuxième cas : Si $\omega (f_1 , \tilde{f_1} ) =0 $ alors il existe $z \in E$ (Q32) tel que $\omega(f_1 ,z) \ne 0$ et $\omega (\tilde{f_1} ,z) \ne 0$. D'après $Q31$, il existe $\lambda \in \R$ tel que $z= \tau_{z-f_1} ^{\lambda} (f_1)$ et il existe $\lambda ' \in \R$ tel que $z= \tau_{z-\tilde{f_1}} ^{\lambda '} (\tilde{f_1})$ Donc $\tilde{f_1} = (\tau_{z-\tilde{f_1}} ^{\lambda '})^{-1} \circ \tau_{z-f_1} ^{\lambda} (f_1)$ Posons $\boxed{\delta_2 = (\tau_{z-\tilde{f_1}} ^{\lambda '})^{-1} \circ \tau_{z-f_1} ^{\lambda}}$ (c'est la composée d'au plus deux réflexions) Il reste juste à montrer que $\delta_2(e_1)=e_1$. Je n'ai pas réussi car on ne connaît pas $z$
Justement tu as une certaine liberté sur $z$. Tu dois trouver un $z$ qui vérifie $\omega(f_1 ,z) \ne 0$ et $\omega (\tilde{f_1} ,z) \ne 0$ afin de pouvoir envoyer $\tilde{f_1}$ sur $f_1$ via deux transvections comme dans Q31, mais il faut également que ce $z$ te permette d'avoir $\delta_2(e_1)=e_1$.
Il faut chercher avec ce que tu as. Tu disposes de $e_1$ de $f_1$ de $\tilde{f_1}$, essaie de construire un $z$ convenable avec ça.
J'ai essayé $z=e_1$ on a bien $w(f_1,e_1) \ne 0$ et $w(\tilde{f_1},e_1) \ne 0$ mais ça ne fonctionne pas je n'arrive pas à obtenir $\delta_2 (e_1)=e_1$. Je ne vois pas comment trouver ce $z$ même en ayant écrit tous les calculs. J'ai écrit 5 pages de calculs en plus.
Merci j'ai fait toutes les vérifications ça fonctionne. Je choisis $\boxed{\delta_2 =\tau_{e_1+f_1- \tilde{f_1}} ^1 \circ \tau_{e_1} ^1}$ J'ai vérifié avec $\lambda=\lambda '=1$ ça fonctionne. On a bien $\delta_2(e_1)=e_1$. Cette question est extrêmement difficile La trouver en temps limité relève du génie. La suite m'a l'air moins dur, il y a 2-3 questions faciles pour respirer un peu.
Enfin des questions accessibles J'ai réussi deux questions mais je bloque à Q39.
Q37) Soit $x \in P$. Alors il existe $\lambda, \mu \in \R$ tels que $x= \lambda e_1 + \mu f_1$. On a $v(x)=v( \lambda e_1 + \mu f_1 ) = \delta_2 \circ \delta_1 ( u ( \lambda e_1 + \mu f_1))=\delta_2 ( \lambda \delta_1 (u (e_1)) + \mu \delta_1 ( u (f_1)) $ Or $\delta_1 (u (e_1))=e_1$ et $\delta_1 (u (f_1))=\tilde{f_1}$. Donc $v(x)=\delta_2 ( \lambda e_1 + \mu \tilde{f_1}) = \lambda \delta_2( e_1) + \mu \delta_2 ( \tilde{f_1} ) = \lambda e_1 + \mu f_1$ d'après Q36. Donc $\boxed{v(P) \subset P}$. $P$ est un plan vectoriel. Une base de $P$ est $B=(e_1,f_1)$ car $e_2$ et $f_1$ ne sont pas colinéaires. On a $v_P(e_1)=\delta_2 \circ \delta_1 ( u (e_1))= \delta_2 (e_1)=e_1$. De plus, $v_P(f_1)=\delta_2 \circ \delta_1 ( u (f_1))= \delta_2 (\tilde{f_1})=f_1$. Par conséquent, $\boxed{v_P = id_P}$
Q38) $P^w = \{ x \in E \ | \ \forall y \in P, \ \ w(x,y)=0 \}$ Soit $x \in P^w$. Alors $\forall y \in P, \ \ w(x,y)=0$. Montrons que $w( v(x),y)=0$. Soit $y \in P$. Alors il existe $\lambda, \mu \in \R$ tels que $y= \lambda e_1 + \mu f_1$ On a $w( v(x),y)= w ( \delta_2 \circ \delta_1 ( u (x)) , \lambda e_1 + \mu f_1 )$ La bilinéarité fournit $w( v(x),y)= \lambda w ( \delta_2 \circ \delta_1 ( u (x)) , \delta_2 \circ \delta_1 ( u (e_1)) + \mu w ( \delta_2 \circ \delta_1 ( u (x)) , \delta_2 \circ \delta_1 ( u (f_1)) )$ Donc $w ( v(x),y) =\lambda w (x,e_1) + \mu w (x,f_1)= 0+0 =0 $ Finalement $\boxed{v(P^w) \subset P^w}$.
Q39) Comme $P$ est un plan vectoriel de $E$, c'est un sous-espace vectoriel de $E$ et donc $P^w$ est un sous-espace vectoriel de $E$, il suffit de vérifier la non-dégénérescence. Montrons que $\{ x \in P^w \ | \ \forall y \in P^w, \ \ w(x,y)=0 \} =\{ 0_{P^w} \}$ Soit $x \in P^w$. Alors $\forall y \in P, \ \ w(x,y)=0$. Supposons aussi que $\forall y \in P^w ,\ \ w(x,y)=0$. Après je bloque.
Merci en effet, je n'y avais pas pensé. Il suffit donc de montrer que $P \cap P^w= \{ 0 \}$ car $\dim P + \dim P^W= \dim E=n$.
Si $x \in P \cap P^w$ alors $x= \lambda e_1 + \mu f_1$ et $\forall y \in P \ \ w(x,y)=0$.
Je prends $y=e_1+ f_1 \in P$. Alors $w( \lambda e_1 + \mu f_1,e_1+f_1)= \lambda w(e_1 f_1)+ \mu w(f_1 ,e_1)=\lambda - \mu=0$. Donc $\lambda= \mu$.
Je prends $y'=e_1-f_1$. Alors $w( \lambda e_1 + \mu f_1,e_1-f_1)=- \lambda w(e_1 f_1)+ \mu w(f_1 ,e_1)= -\lambda - \mu=0$. Donc $\lambda= -\mu$.
Par conséquent, $\lambda= \mu=0$. Donc $x=0$.
D'après Q37 on a $v_{P^w} = id_{P^w}$ donc $v_{P^w}$ est un endomorphisme symplectique.
La question Q40 m'a l'air difficile. Il me semble qu'il faille faire une récurrence sur $m$, l'initialisation a été faite en Q36 je ne comprends pas bien le rapport avec les endomorphismes induits et l'orthogonal.
Une tentative pour la question $40$. Je fais une récurrence sur $m \in \N^{*}$. Si $m=1$ alors $n=2$ et on doit montrer que $u$ peut s'écrire comme la composée d'au plus $4$ transvections symplectiques. Comme $\dim E=2$, $E$ est un plan vectoriel. Soit $B=(e_1,f_1)$ une base de $E$. Je voulais utiliser Q36 mais je bloque car il n'y a pas de $u$.
C'est la Q34 que tu dois utiliser pour le cas $n=2$. Le $u$ il t'es donné au départ et tu dois montrer qu'il existe au plus 4 transvections telles que $u=\tau_1\cdot...\cdot \tau_4$.
Merci j'ai fait l'initialisation mais je bloque sur l'hérédité.
Initialisation : Si $\dim E=2$, alors $E$ est un plan vectoriel, donc $B=(e_1,f_1)$ est une base de $E$. Comme $w(e_1,f_1)=1 \ne 0$ alors il existe l'existe d'une composée $\delta$ d'au plus 4 transvection symplectiques telle que $\delta (u (e_1) )= e_1$ et $\delta ( u (f_1)) =f_1$. Donc $u(e_1)= \delta^{-1} (e_1)$ et $u(f_1)= \delta^{-1} (f_1)$. Si $x \in E$, il existe $\lambda, \mu \in \R$ tels que $x= \lambda e_1 + \mu f_1$ donc $u(x)=\lambda u(e_1) + \mu u(f_1)$ Ainsi $u(x)= \lambda \delta^{-1} (e_1) + \mu \delta^{-1} (f_1) = \delta^{-1} (x)$ On a donc $u = \delta^{-1}$ donc $u$ s'écrit comme la composée d'au plus quatre transvections symplectiques.
Hérédité : Supposons que si $E$ est de dimension $2n = 4m$ alors il existe $p \leq 4m$ et $\tau_1 , \cdots, \tau_p$ des transvections symplectiques telles que $u= \tau_1 \circ \tau_2 \circ \cdots \circ \tau_p$. Soit $E$ un espace de dimension $2(n+1)=2n+2=4 m+2$. Je ne vois pas du tout comment procéder.
Remarque : dans ton initialisation il n'y a pas besoin de dire
"si $x\in E$ il existe... Ainsi $u(x)= \lambda \delta^{-1} (e_1) + \mu \delta^{-1} (f_1) =\delta^{-1} (x)$ On a donc $u = \delta^{-1}$".
En effet du moment que tu montres que deux applications linéaires coïncident sur une base (et tu as montré effectivement que $u$ et $\delta^{-1}$ coïncidaient sur la base $(e_1,f_1)$), elles sont automatiquement égales. Tu devrais connaître ce résultat basique depuis le temps. En fait tu le redémontres à chaque fois sans t'en rendre compte...
Comment procéder ? eh bien les questions Q34 et Q37-Q39 sont justement là pour te montrer comment utiliser l'hypothèse de récurrence. Elles te permettent de faire "baisser" la dimension de ton espace pour utiliser ton hypothèse de récurrence : bref, il faut commencer à nouveau par construire un sous-ev $P$ de dimension 2 et les Q37-Q39 te fournissent "gratuitement" $P^{\omega}$ sur lequel appliquer l'hypothèse de récurrence.
D'accord merci. On a $P \oplus P^w = E$ d'après Q9. Je choisis $P=Vect(e_{2n+1},e_{2n+2})$ et $P^w = Vect( e_1, \cdots, e_{2n})$ donc $B=(e_1, \cdots, e_{2n},e_{2n+1},e_{2n+2})$ est une base adaptée de $E$. On a $v= \delta \circ u$. On sait que $v_ {P^w} $ est un endomorphisme symplectique avec $\dim P^w =n+2-2=n$. On peut appliquer l'hypothèse de récurrence à $v_ {P^w} $. On peut donc écrire $v_{P^w}= \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1$ avec $p \leq 4m$ Je bloque ici pour faire le lien entre $v_{P^w}$ et $v$ ...
OShine, as-tu remarqué qu'en fait tu bloques à chaque fois qu'il faut réfléchir ... ?
Déjà la récurrence tu la fais sur $m$ et ton espace $E$ est de dimension $n+2=2(m+1)$ (et pas $4m+2$ !). Comme tu as dit on a : $v_{P^w}= \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1$ avec $p\leq 4m$. Ce qui veut dire que $\forall x\in P^w, v(x)=(\tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1)(x)$. On se souvient que $v= \delta \circ u$ et on a donc $\forall x\in P^w, u(x)=(\delta^{-1}\circ \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1)(x)$.
Et là on se dit : cool on $\delta^{-1}\circ \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1$ est un produit d'au plus $4m+4$ transvections. Justement le nombre qu'on veut. Le problème est que l'égalité n'est à priori vérifiée que pour les $x$ dans $P^w$. Qu'est-ce qui se passe pour les $x$ dans $P$ ?
Merci pour ces clarifications mais un élément de $E$ n'est pas forcément dans $P$ ou dans $P^w$... Pour $x \in P$ on a $v(x)=v_P (x)= id_P$ d'après $Q37$. Donc $\forall x \in P \ \ u(x)= \delta^{-1} (x)$ donc $u= \delta^{-1}$ et $u$ est un produit d'au plus 4 transvections. Par la somme directe, si $x \in E$ alors $x = y +z$ avec $y \in P^w$ et $z \in P$. Alors $u(x)=u(y)+u(z)= \delta^{-1} \circ \tau_p \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1 (y) + \delta^{-1} (z)$ Je ne vois pas comment continuer...
Quand j'ai vu l'horaire du message (4h19), je me suis dit : OShine a eu une illumination, il s'est relevé au milieu de la nuit pour poster une réponse géniale. Sniffff, déception, même au milieu de la nuit, il poste pour dire qu'il ne voit pas comment continuer.
Il y a une règle d'or pour progresser en maths : avoir un sommeil le plus régulier possible. C'est pendant le sommeil qu'on imprime dans son cerveau les informations reçues pendant la journée (les techniques, les méthodes ...)
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Merci pour ces clarifications mais un élément de $E$ n'est pas forcément dans $P$ ou dans $P^w$...
Mais $P$ et $P^w$ sont en somme directe donc toute application linéaire d'espace de départ $E$ est complètement déterminée par ses restrictions à $P$ et $P^w$... enregistre ça. En d'autres mots si deux applications linéaires, disons $u$ et $u'$ coïncident sur $P$ et $P^w$ alors elles coïncident sur $E$ entier, elles sont donc égales : $u=u'$.
Retournons à nos moutons. On sait que $\forall x\in P^w, u(x)=(\delta^{-1}\circ \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1)(x)$ et on aimerait bien que cette égalité soit vraie sur $E$ entier, car on aurait alors terminé la preuve par récurrence vu que le membre de droite est constitué par au plus $4m+4$ transvections.
Bon ben il se trouve que c'est le cas. En effet les transvections $\tau_i$ de ton produit ci-dessus sont du type $P^w\to P^w, x\mapsto x+\lambda \omega(a,x)a$ avec $a\in P^w\setminus \{0\}$. On peut donc les prolonger naturellement à $E$ entier en considérant simplement que l'espace de départ n'est pas $P^w$ mais $E$ (car $x\mapsto x+\lambda \omega(a,x)a$ a bien un sens si $x\in E$).
Il suffit donc de montrer que $\delta^{-1}\circ \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1$ est égal à $u$ sur $P$, et vu qu'il est égal à $u$ sur $P^w$ on aura qu'il est égal à $u$ sur $E$ entier et c'est fini.
D'accord merci. Une base de $P$ est $(e_{2n+1},e_{2n+2})$. D'après $Q37$, on a $v_{P}=id_P$. Mais je ne vois pas comment calculer $\tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_1 (e_{2n+1})$ je ne connais pas les $\tau_i$ ...
Les $\tau_i$ sont des transvections symplectiques de $P^w$, par conséquent ils ont tous la forme suivante : $\tau_i: x\mapsto x+\lambda_i\omega(a_i,x)a_i$ mais avec $a_i\in P^w$ (car je répète, ce sont des transvections de $P^w$). Évidemment c'est ça le détail qui fait que ça marche... bon j'ai quasiment tout dit
Ah oui je n'avais pas du tout pensé à ça j'aurais pu chercher encore des heures, au final on aura $\tau_i ( e_{2n+1} )= e_{2n+1}$ car $w(a_i ,e_{2n+1})=0$ car $a_i \in P^w$. On itère le processus et ça donne le résultat voulu.
Je vais chercher la question $41$. On doit prendre deux matrices $M$ et $N$ de $Sp_n(\R)$ et trouver un chemin continu $\gamma : [0,1] \longrightarrow Sp_n(\R)$ tel que $\gamma (0)=M$ et $\gamma(1)= N$. J'essaie de voir comment utiliser le théorème.
On a $M= M_1 \cdots M_p$ et $N= N_1 \cdots N_q$ avec $p,q \leq 4m$ et $M_i$ et $N_i$ les matrices associés aux endomorphismes canoniques $\tau_i$.
Pour l'instant c'est ce que j'ai écrit, je dois encore réfléchir.
Dans la Q41 on n'a pas besoin du théorème non ? Ce que j'ai fait a l'air trop simple pour être vrai, j'ai peur d'avoir écrit une énormité.
Soit $M,N \in SP_n(\R)$. L'application $ \gamma : [0,1] \longrightarrow Sp_n(\R) \\ t \mapsto \gamma(t)= M t + (1-t) N$ est bien définie car d'après Q16 $Sp_n(\R)$ est un groupe, elle est continue car polynomiale et $\gamma(0)=N$ et $\gamma(1)=M$.
$Sp_n(\R)$ est un groupe pour la composition (produit de matrices si tu préfères) pas pour l'addition. D'ailleurs si $M$ est symplectique $tM$ ne l'est pas si $t\neq \pm 1$.
Je te déconseille de raisonner en termes de matrices ici. Le fait que chaque élément de $Sp_n(\R)$ se décompose en produit de transvections devrait te faire penser qu'il faut commencer par se limiter aux transvections. Par exemple comment "relier" deux transvections par un chemin continu qui reste dans $Sp_n(\R)$ ? D'ailleurs un poil plus simple, comment "relier" une transvection à l'identité par un chemin continu qui reste dans $Sp_n(\R)$ ?
@julian il a été posé à Polytechnique MP 2017 le sujet comporte 26 questions. La première partie ressemble à ce sujet de Centrale, la suite n'a rien à voir, elle utilise les polynômes et la réduction simultanée, mais peut être que je devrais essayer ce beau sujet un jour pour voir si j'ai bien assimilé.
@raoul.S je cherche depuis hier je ne trouve pas comment relier une transvection avec l'identité par un chemin continu.
Soit $\tau_a ^{\lambda}$ une transvection. On doit avoir $\gamma(0)= id$ et $\gamma (1)= \tau_a ^{\lambda}$. Je n'arrive pas à trouver un $\gamma$ qui convient.
Réponses
En fait je viens de comprendre c'est $ E \ne H_1 \cup H_2$. Et c'est facile de montrer $H_1 \cup H_2$ est strictement inclus dans $E$.
Alors $H_1 \subset H_2$ ou $H_2 \subset H_1$. Donc $H_1= E$ ou $H_2=E$ ce qui est absurde.
En effet, par l'absurde, si $H_1 \cup H_2 $ est un sev de $E$ et $H_1$ n'est pas inclus dans $H_2$ et $H_2$ n'est pas inclus dans $H_1$ alors :
Il existe $e,f\in E$ tels que $\omega(x,e)\neq 0$ et $\omega(y,f)\neq 0$.
Si $\omega(y,e)\neq 0$ ou $\omega(x,f)\neq 0$, c'est fini.
Pour $Q34$ merci je crois avoir l'idée. Comme $e_1$ est non nul, il existe $h_1 \in E$ tel que $w(e_1 ,h_1) \ne 0$.
Donc $w (e_1 , \dfrac{h_1}{ w(e_1,h_1)} ) = 1$ par linéarité de $w$.
Il suffit de prendre $\boxed{f_1 = \dfrac{h_1}{ w(e_1,h_1)}}$. Et $f_1$ n'est pas colinéaire à $e_1$ sinon on aurait $w(e_1 ,h_1) = 0$.
Si $w(y,e) \ne 0$ ou $w(x,f) \ne 0$ alors c'est fini.
Tiens je te traduis un morceau : lorsqu'il dit : Si $\omega(y,e)\neq 0$ ou $\omega(x,f)\neq 0$, c'est fini. Sinon,...
ça correspond à ton :
- Il existe $x \in H_1$ tel que $x \notin H_2$.
- Il existe $y \in H_2$ tel que $y \notin H_1$.
et son $e+f$ correspond à ton $x+y$... sacré gai requinJe tente la question suivante. Je sens que la question 36 va me poser de gros problèmes.
Q35) Je vais utiliser le lemme démontré. Pour cela, il suffit de démontrer que $e_1$ et $u(e_1)$ sont des vecteurs non nuls de $E$.
Par hypothèse, $e_1$ est non nul, il suffit de montrer que $u(e_1)$ est non nul.
Or $u$ est symplectique donc $\forall x,y \in E \ \ w (u(x) ,u(y))= w(x,y)$.
Donc $w ( u(e_1) ,u(f_1) ) = w( e_1 ,f_1)$. Mais d'après Q34, $w(e_1,f_1)=1$. Ce qui implique $w ( u(e_1) ,u(f_1) )=1$.
Par l'absurde si $u(e_1)=0$ alors $w ( u(e_1) ,u(f_1) ) = w( 0 , u(f_1)) =0$ ce qui est absurde. On peut donc utiliser le lemme avec $x=e_1$ et $y=u(e_1)$ ce qui termine la démonstration.
Tu prends un transvection symplectique générale $\tau_a^{\lambda}$ avec $a$ non nul. Pour commencer on aimerait que cette transvection vérifie $\tau_a^{\lambda}(\tilde{f_1})=f_1$. Que peut-on en déduire sur $a$ ?
PS. Elle est bien calculatoire celle-ci OShine, tu devrais aimer...
L'expression de $\tilde{f_1}$ est horrible. Ca devient clairement compliqué à ce stade. Ce qui m'a paru compliqué c'est qu'on doit vérifier à la fois $\gamma_2 (e_1)=e_1$ et $\gamma_2 (\tilde{f_1})=f_1$.
Si $\tau_a ^{\lambda} ( \tilde{f_1}) =f_1$ alors $\delta_1 [ u(e_1) ] + \lambda \omega ( a, \delta_1 [ u(e_1) ) a= f_1$
D'après Q35, on a $\delta_1 [ u(e_1) ]= e_1$. Donc $\boxed{e_1 + \lambda \omega(a,e_1) a = f_1}$
Ainsi $\lambda \omega(a,e_1) a = f_1-e_1$.
En prenant $a=f_1-e_1$ et $\lambda =-1$ on a : $\lambda \omega(a,e_1) a = - \omega( f_1-e_1, e_1) (f_1-e_1)= -\omega(f_1,e_1) (f_1-e_1)=f_1-e_1$
Par conséquent, $\boxed{\tau_{f_1-e_1} ^{-1} ( \tilde{f_1}) =f_1}$ donc $\boxed{\delta_2 = \tau_{f_1-e_1} ^{-1}}$.
Il reste à montrer que $\delta_2 ( e_1)=e_1$.
Or $\tau_{f_1-e_1} ^{-1}(e_1) = e_1 - w( f_1-e_1,e_1) (f_1-e_1) = e_1- w(f_1,e_1) (f_1-e_1)=e_1+ f_1-e_1=f_1$
Ici ça ne marche pas je ne vois pas comment remédier à ce problème
Toute ma vie je n'ai fait que lire des corrigés et je n'ai jamais progressé, j'ai même régressé. Quand je lis un corrigé 2 jours après je ne sais pas refaire.
Je suis déjà fier d'avoir été jusqu'à la question 36 sans regarder s'il y avait un corrigé, alors que ça devient vraiment compliqué à ce stade du sujet par rapport à mon niveau.
À ce stade je te conseille d'écrire $\tilde{f_1}$ au leu de $\delta_1 [ u(f_1) ]$, c'est plus court. Retente pour voir.
PS. Le conseil est de lire le corrigé en dernier recours, seulement si on a tout tenté sans rien trouver.
Tout seul, tu as fait le début de la question 1. C'est tout.
Tant que tu croiras que faire un problème avec l'aide de 4 ou 5 profs particuliers qui te tiennent par la main, c'est la même chose que faire un problème tout seul, tu te fourvoieras totalement sur ton niveau.
Quelles sont les épreuves que tu sais faire, sans demander de l'aide à chaque question ? Mystère. Tu penses que tu sais faire une épreuve du Bac. J'en doute fort.
@raoul.S en gardant $\tilde{f_1}$ je n'y arrive pas. On veut $\tau_a ^{\lambda} (\tilde{f_1})=f_1$ soit $\boxed{\lambda \omega (a, \tilde{f_1})= f_1- \tilde{f_1}}$
Je bloque ici à cause du $\tilde{f_1}$. J'ai essayé de prendre $a=f_1- \tilde{f_1}$ mais je ne sais pas calculer $\omega ( \tilde{f_1} ,e_1)$ donc je n'arrive pas à calculer $\delta_2 (e_1)$.
Oui c'est bien $a=f_1- \tilde{f_1}$. Il faut trouver $\lambda$ et pour le calcul de $\omega ( \tilde{f_1} ,e_1)$ il faut y aller quoi, prends une feuille de brouillon et écris. Je te rappelle que $e_1=\delta_1(u(e_1))$ et $\tilde{f_1}=\delta_1(u(f_1))$ que $\delta_1$ et $u$ sont symplectiques etc. il faut tout utiliser quoi.
Voici ce que j'ai fait mais ça ne mène nulle part je n'avance pas.
🥶
Tu n'y arrives pas car tu n'as pas corrigé la coquille que je t'ai signalée dans mon dernier message...Tu écris $\lambda \omega (a, \tilde{f_1})= f_1- \tilde{f_1}$ mais il manque un $a$. Tu vois bien qu'à gauche de l'égalité tu as un nombre et qu'à droite tu as un vecteur...
C'est $\lambda \omega (a, \tilde{f_1})a= f_1- \tilde{f_1}$ qu'il faut écrire. Maintenant sachant qu'on prend $a=f_1- \tilde{f_1}$ il faut que $\lambda$ soit égal à quoi ?
Or $\omega (f_1- \tilde{f_1} , \tilde{f_1} )= \omega (f_1 , \tilde{f_1} )$. Donc $\boxed{\lambda \omega (f_1 , \tilde{f_1} ) (f_1 - \tilde{f_1} ) = f_1 -\tilde{f_1}}$.
Comme $\lambda \omega (f_1 , \tilde{f_1} ) \in \R$, il faut que $\lambda \omega (f_1 , \tilde{f_1} ) =1$
Deux cas se présentent.
Premier cas :
Si $\omega (f_1 , \tilde{f_1} ) \ne 0$ alors $\lambda= \dfrac{1}{ \omega (f_1 , \tilde{f_1} )}$. Vérifions que $\tau_{f_1-\tilde{f_1} }^{1 / \omega (f_1 , \tilde{f_1}) } (e_1)=e_1$.
On a $\tau_{f_1-\tilde{f_1} }^{1 / \omega (f_1 , \tilde{f_1 }) } (e_1) = e_1+ \dfrac{1}{ \omega (f_1 , \tilde{f_1} ) } \omega( f_1-\tilde{f_1} ,e_1) (f_1- \tilde{f_1} ) $
Or $\omega( f_1-\tilde{f_1} ,e_1)= \omega( f_1 ,e_1)- \omega( \delta_1 (u(f_1)) , \delta_1 (u(e_1) )= -1 -\omega(f_1,e_1)=-1+1=0$ car $u$ et $\delta_1$ sont symplectiques.
Donc $\boxed{\tau_{f_1-\tilde{f_1} }^{1 / \omega (f_1 , \tilde{f_1 }) } (e_1) = e_1}$
Finalement $\delta_2 = \tau_{f_1-\tilde{f_1} }^{1 / \omega (f_1 , \tilde{f_1 }) }$ (c'est la composée d'au plus deux réflexions)
Deuxième cas :
Si $\omega (f_1 , \tilde{f_1} ) =0 $ alors il existe $z \in E$ (Q32) tel que $\omega(f_1 ,z) \ne 0$ et $\omega (\tilde{f_1} ,z) \ne 0$.
D'après $Q31$, il existe $\lambda \in \R$ tel que $z= \tau_{z-f_1} ^{\lambda} (f_1)$ et il existe $\lambda ' \in \R$ tel que $z= \tau_{z-\tilde{f_1}} ^{\lambda '} (\tilde{f_1})$
Donc $\tilde{f_1} = (\tau_{z-\tilde{f_1}} ^{\lambda '})^{-1} \circ \tau_{z-f_1} ^{\lambda} (f_1)$
Posons $\boxed{\delta_2 = (\tau_{z-\tilde{f_1}} ^{\lambda '})^{-1} \circ \tau_{z-f_1} ^{\lambda}}$ (c'est la composée d'au plus deux réflexions)
Il reste juste à montrer que $\delta_2(e_1)=e_1$. Je n'ai pas réussi car on ne connaît pas $z$
Il faut chercher avec ce que tu as. Tu disposes de $e_1$ de $f_1$ de $\tilde{f_1}$, essaie de construire un $z$ convenable avec ça.
Je ne vois pas comment trouver ce $z$ même en ayant écrit tous les calculs. J'ai écrit 5 pages de calculs en plus.
Cette question est extrêmement difficile La trouver en temps limité relève du génie.
La suite m'a l'air moins dur, il y a 2-3 questions faciles pour respirer un peu.
Q37) Soit $x \in P$. Alors il existe $\lambda, \mu \in \R$ tels que $x= \lambda e_1 + \mu f_1$.
On a $v(x)=v( \lambda e_1 + \mu f_1 ) = \delta_2 \circ \delta_1 ( u ( \lambda e_1 + \mu f_1))=\delta_2 ( \lambda \delta_1 (u (e_1)) + \mu \delta_1 ( u (f_1)) $
Or $\delta_1 (u (e_1))=e_1$ et $\delta_1 (u (f_1))=\tilde{f_1}$.
Donc $v(x)=\delta_2 ( \lambda e_1 + \mu \tilde{f_1}) = \lambda \delta_2( e_1) + \mu \delta_2 ( \tilde{f_1} ) = \lambda e_1 + \mu f_1$ d'après Q36.
Donc $\boxed{v(P) \subset P}$.
$P$ est un plan vectoriel. Une base de $P$ est $B=(e_1,f_1)$ car $e_2$ et $f_1$ ne sont pas colinéaires.
On a $v_P(e_1)=\delta_2 \circ \delta_1 ( u (e_1))= \delta_2 (e_1)=e_1$.
De plus, $v_P(f_1)=\delta_2 \circ \delta_1 ( u (f_1))= \delta_2 (\tilde{f_1})=f_1$.
Par conséquent, $\boxed{v_P = id_P}$
Q38) $P^w = \{ x \in E \ | \ \forall y \in P, \ \ w(x,y)=0 \}$
Soit $x \in P^w$. Alors $\forall y \in P, \ \ w(x,y)=0$.
Montrons que $w( v(x),y)=0$. Soit $y \in P$. Alors il existe $\lambda, \mu \in \R$ tels que $y= \lambda e_1 + \mu f_1$
On a $w( v(x),y)= w ( \delta_2 \circ \delta_1 ( u (x)) , \lambda e_1 + \mu f_1 )$
La bilinéarité fournit $w( v(x),y)= \lambda w ( \delta_2 \circ \delta_1 ( u (x)) , \delta_2 \circ \delta_1 ( u (e_1)) + \mu w ( \delta_2 \circ \delta_1 ( u (x)) , \delta_2 \circ \delta_1 ( u (f_1)) )$
Donc $w ( v(x),y) =\lambda w (x,e_1) + \mu w (x,f_1)= 0+0 =0 $
Finalement $\boxed{v(P^w) \subset P^w}$.
Q39) Comme $P$ est un plan vectoriel de $E$, c'est un sous-espace vectoriel de $E$ et donc $P^w$ est un sous-espace vectoriel de $E$, il suffit de vérifier la non-dégénérescence.
Montrons que $\{ x \in P^w \ | \ \forall y \in P^w, \ \ w(x,y)=0 \} =\{ 0_{P^w} \}$
Soit $x \in P^w$. Alors $\forall y \in P, \ \ w(x,y)=0$. Supposons aussi que $\forall y \in P^w ,\ \ w(x,y)=0$.
Après je bloque.
Il faut utiliser Q8 et Q9...
Il suffit donc de montrer que $P \cap P^w= \{ 0 \}$ car $\dim P + \dim P^W= \dim E=n$.
Si $x \in P \cap P^w$ alors $x= \lambda e_1 + \mu f_1$ et $\forall y \in P \ \ w(x,y)=0$.
Je prends $y=e_1+ f_1 \in P$. Alors $w( \lambda e_1 + \mu f_1,e_1+f_1)= \lambda w(e_1 f_1)+ \mu w(f_1 ,e_1)=\lambda - \mu=0$. Donc $\lambda= \mu$.
Je prends $y'=e_1-f_1$. Alors $w( \lambda e_1 + \mu f_1,e_1-f_1)=- \lambda w(e_1 f_1)+ \mu w(f_1 ,e_1)= -\lambda - \mu=0$. Donc $\lambda= -\mu$.
Par conséquent, $\lambda= \mu=0$. Donc $x=0$.
D'après Q37 on a $v_{P^w} = id_{P^w}$ donc $v_{P^w}$ est un endomorphisme symplectique.
La question Q40 m'a l'air difficile. Il me semble qu'il faille faire une récurrence sur $m$, l'initialisation a été faite en Q36 je ne comprends pas bien le rapport avec les endomorphismes induits et l'orthogonal.
Je fais une récurrence sur $m \in \N^{*}$.
Si $m=1$ alors $n=2$ et on doit montrer que $u$ peut s'écrire comme la composée d'au plus $4$ transvections symplectiques.
Comme $\dim E=2$, $E$ est un plan vectoriel. Soit $B=(e_1,f_1)$ une base de $E$.
Je voulais utiliser Q36 mais je bloque car il n'y a pas de $u$.
C'est la Q34 que tu dois utiliser pour le cas $n=2$. Le $u$ il t'es donné au départ et tu dois montrer qu'il existe au plus 4 transvections telles que $u=\tau_1\cdot...\cdot \tau_4$.
Initialisation :
Si $\dim E=2$, alors $E$ est un plan vectoriel, donc $B=(e_1,f_1)$ est une base de $E$.
Comme $w(e_1,f_1)=1 \ne 0$ alors il existe l'existe d'une composée $\delta$ d'au plus 4 transvection symplectiques telle que $\delta (u (e_1) )= e_1$ et $\delta ( u (f_1)) =f_1$.
Donc $u(e_1)= \delta^{-1} (e_1)$ et $u(f_1)= \delta^{-1} (f_1)$.
Si $x \in E$, il existe $\lambda, \mu \in \R$ tels que $x= \lambda e_1 + \mu f_1$ donc $u(x)=\lambda u(e_1) + \mu u(f_1)$
Ainsi $u(x)= \lambda \delta^{-1} (e_1) + \mu \delta^{-1} (f_1) = \delta^{-1} (x)$
On a donc $u = \delta^{-1}$ donc $u$ s'écrit comme la composée d'au plus quatre transvections symplectiques.
Hérédité :
Supposons que si $E$ est de dimension $2n = 4m$ alors il existe $p \leq 4m$ et $\tau_1 , \cdots, \tau_p$ des transvections symplectiques telles que $u= \tau_1 \circ \tau_2 \circ \cdots \circ \tau_p$.
Soit $E$ un espace de dimension $2(n+1)=2n+2=4 m+2$.
Je ne vois pas du tout comment procéder.
En effet du moment que tu montres que deux applications linéaires coïncident sur une base (et tu as montré effectivement que $u$ et $\delta^{-1}$ coïncidaient sur la base $(e_1,f_1)$), elles sont automatiquement égales. Tu devrais connaître ce résultat basique depuis le temps. En fait tu le redémontres à chaque fois sans t'en rendre compte...
Comment procéder ? eh bien les questions Q34 et Q37-Q39 sont justement là pour te montrer comment utiliser l'hypothèse de récurrence. Elles te permettent de faire "baisser" la dimension de ton espace pour utiliser ton hypothèse de récurrence : bref, il faut commencer à nouveau par construire un sous-ev $P$ de dimension 2 et les Q37-Q39 te fournissent "gratuitement" $P^{\omega}$ sur lequel appliquer l'hypothèse de récurrence.
Je choisis $P=Vect(e_{2n+1},e_{2n+2})$ et $P^w = Vect( e_1, \cdots, e_{2n})$ donc $B=(e_1, \cdots, e_{2n},e_{2n+1},e_{2n+2})$ est une base adaptée de $E$.
On a $v= \delta \circ u$. On sait que $v_ {P^w} $ est un endomorphisme symplectique avec $\dim P^w =n+2-2=n$.
On peut appliquer l'hypothèse de récurrence à $v_ {P^w} $.
On peut donc écrire $v_{P^w}= \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1$ avec $p \leq 4m$
Je bloque ici pour faire le lien entre $v_{P^w}$ et $v$ ...
Déjà la récurrence tu la fais sur $m$ et ton espace $E$ est de dimension $n+2=2(m+1)$ (et pas $4m+2$ !). Comme tu as dit on a : $v_{P^w}= \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1$ avec $p\leq 4m$. Ce qui veut dire que $\forall x\in P^w, v(x)=(\tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1)(x)$. On se souvient que $v= \delta \circ u$ et on a donc $\forall x\in P^w, u(x)=(\delta^{-1}\circ \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1)(x)$.
Et là on se dit : cool on $\delta^{-1}\circ \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1$ est un produit d'au plus $4m+4$ transvections. Justement le nombre qu'on veut. Le problème est que l'égalité n'est à priori vérifiée que pour les $x$ dans $P^w$. Qu'est-ce qui se passe pour les $x$ dans $P$ ?
Pour $x \in P$ on a $v(x)=v_P (x)= id_P$ d'après $Q37$. Donc $\forall x \in P \ \ u(x)= \delta^{-1} (x)$ donc $u= \delta^{-1}$ et $u$ est un produit d'au plus 4 transvections.
Par la somme directe, si $x \in E$ alors $x = y +z$ avec $y \in P^w$ et $z \in P$.
Alors $u(x)=u(y)+u(z)= \delta^{-1} \circ \tau_p \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1 (y) + \delta^{-1} (z)$
Je ne vois pas comment continuer...
Sniffff, déception, même au milieu de la nuit, il poste pour dire qu'il ne voit pas comment continuer.
Il y a une règle d'or pour progresser en maths : avoir un sommeil le plus régulier possible. C'est pendant le sommeil qu'on imprime dans son cerveau les informations reçues pendant la journée (les techniques, les méthodes ...)
Retournons à nos moutons. On sait que $\forall x\in P^w, u(x)=(\delta^{-1}\circ \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1)(x)$ et on aimerait bien que cette égalité soit vraie sur $E$ entier, car on aurait alors terminé la preuve par récurrence vu que le membre de droite est constitué par au plus $4m+4$ transvections.
Bon ben il se trouve que c'est le cas. En effet les transvections $\tau_i$ de ton produit ci-dessus sont du type $P^w\to P^w, x\mapsto x+\lambda \omega(a,x)a$ avec $a\in P^w\setminus \{0\}$. On peut donc les prolonger naturellement à $E$ entier en considérant simplement que l'espace de départ n'est pas $P^w$ mais $E$ (car $x\mapsto x+\lambda \omega(a,x)a$ a bien un sens si $x\in E$).
Il suffit donc de montrer que $\delta^{-1}\circ \tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1$ est égal à $u$ sur $P$, et vu qu'il est égal à $u$ sur $P^w$ on aura qu'il est égal à $u$ sur $E$ entier et c'est fini.
Essaie de montrer ça.
D'après $Q37$, on a $v_{P}=id_P$. Mais je ne vois pas comment calculer $\tau_p \circ \tau_{p-1} \circ \cdots \circ \tau_1 (e_{2n+1})$ je ne connais pas les $\tau_i$ ...
Je vais chercher la question $41$. On doit prendre deux matrices $M$ et $N$ de $Sp_n(\R)$ et trouver un chemin continu $\gamma : [0,1] \longrightarrow Sp_n(\R)$ tel que $\gamma (0)=M$ et $\gamma(1)= N$. J'essaie de voir comment utiliser le théorème.
On a $M= M_1 \cdots M_p$ et $N= N_1 \cdots N_q$ avec $p,q \leq 4m$ et $M_i$ et $N_i$ les matrices associés aux endomorphismes canoniques $\tau_i$.
Pour l'instant c'est ce que j'ai écrit, je dois encore réfléchir.
Soit $M,N \in SP_n(\R)$. L'application $ \gamma : [0,1] \longrightarrow Sp_n(\R) \\ t \mapsto \gamma(t)= M t + (1-t) N$ est bien définie car d'après Q16 $Sp_n(\R)$ est un groupe, elle est continue car polynomiale et $\gamma(0)=N$ et $\gamma(1)=M$.
Je te déconseille de raisonner en termes de matrices ici. Le fait que chaque élément de $Sp_n(\R)$ se décompose en produit de transvections devrait te faire penser qu'il faut commencer par se limiter aux transvections. Par exemple comment "relier" deux transvections par un chemin continu qui reste dans $Sp_n(\R)$ ? D'ailleurs un poil plus simple, comment "relier" une transvection à l'identité par un chemin continu qui reste dans $Sp_n(\R)$ ?
PS. donc oui on utilise le théorème.
@raoul.S je cherche depuis hier je ne trouve pas comment relier une transvection avec l'identité par un chemin continu.
Soit $\tau_a ^{\lambda}$ une transvection. On doit avoir $\gamma(0)= id$ et $\gamma (1)= \tau_a ^{\lambda}$. Je n'arrive pas à trouver un $\gamma$ qui convient.