Ellipse et œuf de poule
Bonjour.
Je cherche à savoir si une ellipse est simplement un cercle déformé par écrasement comme dans le gif ci-dessous ou bien un objet géométrique plus compliqué ?
Ensuite j'aimerais savoir s'il existe une forme géométrique pour décrire une sorte d'éllipse avec une extrémité plus large que l'autre comme le profil d'un œuf de poule ?
Je cherche à savoir si une ellipse est simplement un cercle déformé par écrasement comme dans le gif ci-dessous ou bien un objet géométrique plus compliqué ?
Ensuite j'aimerais savoir s'il existe une forme géométrique pour décrire une sorte d'éllipse avec une extrémité plus large que l'autre comme le profil d'un œuf de poule ?
Réponses
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Oui une ellipse est bien un cercle aplati.Pour les œufs, certains manuels de collège essayent de proposer une construction avec des arcs de cercle. Ils s’arrangent pour que les jonctions soient $C^1$. Mais ce n’est que visuel et à mon avis un oeuf est plus compliqué.
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Pour un oeuf je suggère de d'abord construire la poule.
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@Dom
Merci pour ta réponse . Pour l’œuf de poule je cherche plus un calcul qu'un dessin.
À vrai dire je m’intéresse à la mécanique d'un vortex, enfin à savoir une sorte d’ellipse comme pour le mouvement d'un objet en orbite mais dont la vitesse augmenterait à l'approche de l'une des extrémité de l'éllipse, ce qui devrait produire un effet œuf de poule. -
Euh..
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On dit que l’œuf est très résistant à certaines contraintes. Je ne sais pas si l’on peut modéliser cela avec de la physique (j’imagine des équations différentielles, mais je n’y connais rien…).Pourquoi une symétrie selon un axe et pas un autre ? Une question de gravité ? L’œuf arrive comment, dans une poule ? Couché, debout ?
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@Dom
Franchement je ne sais pas. D'après ce site l’œuf tourne à l’intérieur de la poule dans la dernière étape de sa formation:
https://poulailler-bio.fr/la-formation-de-loeuf-de-poule/
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L’œuf ne sort certainement pas couché. D’abord, ça ferait trop mal et ensuite il est fait pour résister à un choc sur l’herbe dans une posture d’atterrissage induite par la gravité, ce qui d’ailleurs laisse supposer un sens pour l’exonération.
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Bonjour,
Est ce une poule "big endian" ou "little endian" ?
Cordialement,
Rescassol
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Quand je disais « arrive » c’était plutôt dans quelle position il est confectionné, créé à l’intérieur.
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Du point de vue mathématique ce qui est intéressant c'est de définir mathématiquement la forme de l’œuf. Ensuite, on peut tenter d'expliquer pourquoi il a cette forme, mais ça me semble difficile.Reste à savoir si tous les œufs sont semblables (au sens mathématique), déjà les œufs des divers volatiles.
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La forme de l’œuf n'est ce pas un ovale? C'est ce que dit cet article en anglais.
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Ici, la réponse est non, tous les œufs n’ont pas la même forme.Et « l’équation » aurait été trouvée.Je mets des guillemets car on n’a rien sous la main, juste un article prosaïque.
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Ellipse : $|zf_1|+|zf_2|=2a$
Oeuf = Ovale de Descartes : $|zf_1|+\kappa|zf_2|=constante$
où $\kappa$ et constante sont deux paramètres positifs -
Bonjour à tousEt si on faisait de la géométrie sérieuse pour changer un peu?Sur la figure ci-dessous, comment placer le point $M$ sur son quart d'ellipse pour que les arcs de cercle rouges se raccordent bien gentiment?Amicalementpappus
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BonjourMerci pour vos informations intéressantes. Je me suis demandé comment, sous Geogebra, obtenir les différents œufs de Descartes. Voici ma proposition :
- Placer deux points A et B, foyers.
- Placer [CD] qui fixe la valeur de la somme, que ce soit pour MA=MB ou MA=2MB ou MA=kMB.
- Placer [DE] quelconque.
- Placer F sur [CD].
- Placer G sur [DE].
- Tracer la parallèle à (EF) passant par G.
- L'intersection de cette droite avec [CD] s'appelle H.
- Tracer le cercle de centre A et de rayon DH.
- Tracer le cercle de centre B et de rayon CF.
- Les intersections des cercles s"appellent I et J.
- Demander les lieux de I et J en fonction de F.
- Bouger G à volonté.
On obtient ça :
Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
Mon cher pappus,
j’ose emmener M en B 🤓
Cordialement
Dom -
Voici comment je procédais pour pondre mon oeuf, bien avant Geogebra !
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Pappus, l'arc rouge $NBM$ est-il un arc de cercle ou un arc d'ellipse ?
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BonjourLa normale en $M$ à l'ellipse recoupe son grand axe en $I$ en sorte que $IM=IA$Amicalement.[Edit] : Au temps pour moi : le centre du cercle n'est pas sur le grand axe.[Edit 1] : Finalement, je crois n'avoir rien compris au problème.
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Merci à GegeP de nous rappeler Eugène Ehrhart (1906-2000), mathématicien alsacien que j'ai connu autrefois, auteur d'un grand nombre de publications.http://icps.u-strasbg.fr/~clauss/Ehrhart.html (en anglais
!).Si je ne me trompe, l'article évoqué par GegeP, dans la RMS de mai 1982, s'intitule Hyperellipses. Il a été republié, avec deux autres sur la forme de l’œuf, dans le livre : Eugène Ehrhart, Articles de mathématiques, CEDIC-Nathan, 1985.Voici un autre de ses articles sur le sujet, du Bulletin de l'APMEP : -
cailloux est comme moi, il ne comprend pas l'énoncé de pappus, c'est rassurant pour moi
. Voici une tentative de décryptage de l'énoncé. On a une ellipse de sommets $A,A',B,B'$. On cherche un point $M$ sur le quart d'ellipse $AB$ tel que l'arc de cercle $MBN$, centré sur l'axe non focal, et l'arc de cercle $MAQ$, centré sur l'axe focal, « se raccordent bien », autrement dit aient une tangente commune en $M$. C'est bien ça ? -
J'ai cherché la solution du problème tel que je l'ai formulé. Soit l'ellipse de demi-axes $a$ et $b$, avec $a>b>0$, d'équations paramétriques $x=a \cos \theta, y=b \sin \theta$. Soient les sommets $A(a,0)$ et $B(0,b)$.Pour chaque point $M$ du quart d'ellipse $\theta \in [0, \frac {\pi}2]$, on considère l'arc de cercle $\overset{\Huge{\frown}}{AM\:}$ centré en un point $I(m,0)$ et l'arc de cercle $\overset{\Huge{\frown}}{MB\:}$ centré en un point $J(0,p)$ (faire la figure).On calcule $m$ et $p$ en fonction de $\theta$ au moyen de : $IA^2=IM^2$ et $JB^2=JM^2$.Je trouve $m=\frac {a^2-b^2}{2a}(1+\cos \theta)$ et $p=-\frac {a^2-b^2}{2b}(1+\sin \theta)$.La condition de « bon raccordement » de ces deux arcs de cercles est que les points $J,I,M$ soient alignés. Ça fait des calculs assez épouvantables, qui me conduisent à : $\cos \theta - \sin \theta =\frac {a^2-b^2}{a^2+b^2}$. Mais je ne pourrais jurer qu'il n'y a pas d'erreurs de calculs. Si c'est juste, ceci permet de déterminer $\theta$. D'accord ?Bonne soirée.Fr. Ch.
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La formule de Griffin (article sciences & avenir) est sur Google images :
Euh... -
C’est certainement subjectif… mais j’affirme que c’est moche.Alors qu’un œuf, je trouve cela assez beau.La forme de la goutte d’eau aussi, c’est « pur ».
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Bonsoir à tousBien sûr, j'aurais dû préciser que $M$ devait se trouver sur le quart d'ellipse ouvert, débarrassé de ses deux extrémités $A$ et $B$.La figure ci-dessous est celle que j'ai en vue!Les quatre arcs de cercle sont en rouge et l'ellipse tracée en noir.Le point $M$ est unique et constructible à la règle et au compas.Amicalementpappus
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Bonne nuit à tous,Je me permets de signaler que le dessin d'une ove donné par Ehrhart dans le dernier article indiqué par Chaurien (que je salue et remercie pour ces liens) me semble restrictif, dans la mesure où l'on peut très bien imaginer que le triangle isocèle ne soit pas rectangle : il faut seulement que la mesure de l'angle au sommet soit strictement supérieure à 60°, et l'on peut alors dessiner des oves plus ou moins pointues ...Bien cordialement, JLB
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Bonjour à tousC'est évidemment plus simple de tracer des oves ou des oeufs de poule, on en trouve plein dans le petit Larousse, que de faire de la défunte géométrie!AmicalementpappusPSMon but est évidemment d'avoir une bonne approximation de l'ellipse au moyen d'arcs de cercle.Celle que j'ai donnée a son domaine de validité (un peu subjectif), lequel?
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Bonjour Pappus,Pour avoir une bonne approximation d'un quart d'ellipse avec deux arcs de cercle, la marche à suivre consiste, me semble-t-il, à commencer par tracer la normale en un point mobile sur le quart d'ellipse, et prendre pour centres des arcs de cercle les points d'intersection de cette normale avec les axes de l'ellipse, comme sur la figure jointe. Et je pense qu'on peut calculer la position du point mobile qui minimise la somme des carrés des écarts, aux sommets de l'ellipse, entre l'ellipse et les arcs. Je dis "la somme des carrés des écarts", car manifestement, il y en a toujours un positif et un négatif ... Je vais tenter de faire ce calcul ...Bien cordialement, JLB
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Voici un catalogue de courbes en forme d'oeuf :
http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm
Celle que je préfère : L'ŒUF DE HÜGELSCHÄFFER :
https://mathcurve.com/courbes2d/oeuf/oeuf.shtml
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Mon cher JLBEncore faudrait-il définir ce qu'est une bonne approximation de l'ellipse.Mon exercice est un problème de géométrie qui a plus à voir avec la géométrie circulaire qu'avec l'approximation de quoique ce soit.Et il se résout synthétiquement, même s'il n'est pas interdit de faire quelques calculs de géométrie analytique.L'approximation de l'ellipse n'est qu'un petit bonus un peu inattendu !
Amicalement
pappus -
Bonjour Pappus,Je m'excuse, je viens de réaliser mon erreur : je n'avais pas vraiment compris l'énoncé de ton exercice !Je vais essayer d'y réfléchir ...Bine cordialement, JLB
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Bonjour à tousVoilà comment j'ai démarré mon exercice.Pour un bon moment j'oublie l'ellipse que j'ai effacée de ma figure.Je considère le faisceau de cercles (kesaco?) $\mathcal F_A$ des cercles tangents en $A$ à la perpendiculaire $T_A$ en $A$ à la droite $OA$ et de même le faisceau de cercles $\mathcal F_B$ des cercles tangents en $B$ à la perpendiculaire $T_B$ en $B$ à la droite $OB$.Et je cherche le lieu des points de contact $M$ d'un cercle $\Gamma_A\in \mathcal F_A$ avec un cercle $\Gamma_B\in \mathcal F_B$Amicalementpappus.
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Bonsoir Pappus,Merci de ces indications ! Je n'aurais pas pensé à aborder cela sous cet angle !Je suppose que l'exercice est résolu quand le point M est aligné avec les deux centres, puisque les tangentes aux deux cercles sont confondues en un tel point ...Bien amicalement, JLB
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Mon cher JelobreuilQuand on parle de faisceaux de cercles et de cercles tangents, la première chose à faire au minimum est de se plonger dans la lecture du Lebossé-Hémery qu'on trouve librement sur la toile et la seconde est d'utiliser les secours de la géométrie circulaire c'est-à-dire de l'inversion!Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!Amicalementpappus
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Bonjour à tousEn définitive c'est beaucoup plus facile de disserter sur les oeufs que de faire de la géométrie (éventuellement circulaire)!Ce qui est quand même la raison d'être de ce forum!Pour une solution de mon exercice, prière donc d'attendre la Saint Glinglin!Pour verser mon obole à cet important débat, je crois que certains oeufs ont la forme qu'ils ont pour éviter de tomber de la corniche sur laquelle ils ont été pondus!Amicalementpappus
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BonjourEnsuite c'est facile pour tout connaisseur de la géométrie circulaire.Il trace le lieu du point de contact $M$ et prend son intersection avec le quart d'ellipse.Plus facile à dire qu'à faire!Il faudra bien se contenter de s'extasier sur les oeufs de poule même ci certains ont une forme ellipsoïdale!Amicalement
pappus -
Cher pappus,Même si on n'y arrive pas, ça nous intéresse. D'autant plus !Malgré tes indications depuis des mois, je n'ai pas encore le coup d'oeil pour l'inversion.Bref le lieu de $M$, je ne le vois pas. À défaut, je fais comme si c'était une conique.
Après cette conjecture totalement injustifiée, je prends à tâtons cinq points $M$,et geogebra me donne une hyperbole rouge en guise de lieu de $M$.(Une sixième valeur prise pour contrôle semble être à une distance très très proche de l'hyperbole. Mais bon, ça ne prouve rien, nous sommes d'accord.)Puis tu proposes de couper avec l'ellipse verte, il vient le point $M_0$ ci-dessous.2) En procédant de manière légèrement différente : en traçant d'abord l'ellipse, puis deux cercles semblant tangents à l'ellipse l'un en $A$, l'autre en $B$, je m'attendais à trouver exactement les mêmes positions, pourtant (apparemment) : pas tout à fait. Mystère.Vivement l'explication !Amicalement,Swingmustard -
Mon cher SwingmustardTu transformes la figure par une inversion de pôle $A$ (ou $B$) et tu regardes ce qui se passe.C'est très instructif!Si tu ne connais pas les propriétés de l'inversion, fais toi aider par le Lebossé-Hémery ou par le Perrin lui aussi en ligne!Passe de bons moments (très élémentaires)!Amicalementpappus
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Bonsoir à tous
Une suggestion sans explications.On se donne un cercle $\Gamma_A$ tangent en $A$ à $T_A$ de centre $C$.On construit le cercle de centre $B$ de même rayon qui recoupe la droite $(OB)$ en $D$ et $E$.Les médiatrices des segments $[CE]$ et $[CD]$ recoupent la droite $(OB)$ en $F$ et $G$ centres des cercles solutions.Ici seul le cercle $(F)$ nous occupe.Il semblerait que le lieu du point $M$ soit un cercle.
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Bonjour CaillouxPas mal mais pas tout à fait ça!Sans explications?Serait-ce à dire que tu n'en as aucune?Normalement le bachelier $\lambda$ d'il y a 75 ans trouvait tout ce qu'il fallait dans le Lebossé-Hémery pour construire les cercles $\Gamma_B$ tangents au cercle $\Gamma_A$ à la règle et au compas.En outre une fois cette construction achevée, il lui fallait réfléchir à nouveau pour trouver le lieu du point de contact.Aujourd'hui c'est quand même plus facile, il suffit de demander poliment à son logiciel!Amicalementpappus
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Bonjour pappus"Pas tout à fait"Tu as raison : le lieu des points $M$ et $M'$ points de contact des deux cercles tangents en $B$ à $T_B$ et au cercle $\Gamma_A$ est l'ensemble de deux cercles. Il faudrait que je montre que les médiatrices passent par un point fixe. Je n'ai pas encore étudié la question mais j'ai demandé poliment à GeoGebra.
"Sans explications" parce qu'elles sont de niveau collège. Bien sûr, une droite, un point et un cercle étant donnés, construire un cercle tangent à la droite et au cercle et passant par le point fait appel à l'inversion mais ici, le point ($B$) est sur la droite ($T_B$) ce qui permet de court-circuiter la boutique circulaire.Amicalement. -
Merci Cailloux
Effectivement, le lieu du point de contact est formé de deux cercles!
Il faut le montrer puis les identifier!
Amitiés
pappus -
Je n'ai réussi qu'à les "identifier" avec le carré de diagonale $AB$ (et je modifie la figure précédente en conséquence). Pour l'instant, je sèche quant aux démonstrations.Amicalement.
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Merci CaillouxEffectivement ce sont ceux que tu as tracés.Félicitations pour tes progrès en géométrie!A défaut de savoir ce qu'est une inversion, ce qui est bien normal à notre époque analphabète, je pense qu'on peut rester dans le groupe des similitudes c'est à dire en géométrie euclidienne, qu'on peut résumer en:axiome de Thalès + axiome de Pythagore!AmitiéspappusPSJ'ai étudié cette configuration il y a presque 20 ans et à l'époque je n'avais pas procédé autrement que toi!Tracé des deux cercles grâce à mon logiciel et après, seulement après, démonstrations.
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En attendant mieux, je me suis tourné vers l'analytique. Avec $a=x_A$ et $b=y_B$, mes deux médiatrices ont pour équations :\begin{align*}2(a-t)x-2(b-t)y&=a^2-b^2-2(a-b)t \\ 2(a-t)x-2(b+t)y&=a^2-b^2-2(a+b)t,\end{align*} où $t$ est un paramètre réel.On vérifie aisément qu'elles passent par deux points fixes : $C_1\left(\dfrac{a-b}{2},-\dfrac{a-b}{2}\right)$ et $C_2\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)$Ce n'est évidemment pas ce qui est attendu ...Amicalement.
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